2.从长32
，宽20
的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ）

A． 4
B. 2
C. 1
D. 3

3.已知命题“若函数
在
上是增函数，则
”，则下列结论正确的是（ ）

A．否命题“若函数
在
上是减函数，则
”是真命题

B．逆命题“若
，则函数
在
上是增函数” 是假命题

C．逆否命题“若
，则函数
在
上是减函数” 是真命题

D．逆否命题“若
，则函数
在
上不是增函数” 是真命题

4.在长为
的线段
上任取一点
，现作一矩形，邻边长分别等于线段
,
的长，
则该矩形面积小于
，的概率是( )

A．
B．
C．
D．

5．设函数
，下列结论中正确的是( )

A．
是函数
的极小值点，
是极大值点

B．
及
均是
的极大值点

C．
是函数
的极小值点，函数
无极大值

D．函数
无极值

6．若定义在上的连续函数
满足
，且
，则对于任意的
，都有
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知双曲线

的离心率为
，则此双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．点
满足
，则点的轨迹是（ ）

A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

9． 如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入
（ ）

A.
B.
C.
D.

10．在平面直角坐标系
中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为
的二面角后，则线段AB的长度是 （ ）．

A.
B.
C.
D.

11．已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

12．函数
的导函数为
，对
R，都有
成立，若
，则不等式
的解是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题（每空5分，共20分）

13．抛物线
的准线方程是 .

14．已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则与的线性回归方程为
必过点 ．

15．如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，则BC和平面ACD所成角的正弦值为 ．

16．已知
在
处取最大值。以下各式正确的序号为 ．

①
②
③

④
⑤

三、解答题

17．（本题10分）在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.

(1)求证:B1C∥平面A1BD；

(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.

18．（本题12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：

（1）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在
，
内的人数；

（2）若从分数在
内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在
内的概率．

（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩．

19．（本题12分）设函数
．

(1)求f(x)的单调区间和极值;

(2)关于的方程f(x)=a在区间
上有三个根,求a的取值范围．

20．（本题12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

21．（本题12分）已知椭圆C：
（
）的左焦点为
，离心率为
.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线
上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.

22．（本题12分）已知函数f（x）＝lnx＋
ax2－（a＋1）x（a∈R）.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a的值；

（3）若对(x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，且f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2恒成立，求实数a的取值范围.



17.(1)连接AB1交A1B与点E，连接DE，则B1C∥DE，则B1C∥平面A1BD 4分

(2)取A1C1中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,

又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,

建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D(0,0,0), B(0,
,0),A1(-1,0,3)

设平面A1BD的一个法向量为
,

取
，则
，
8分

设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ，平面DBB1的一个法向量为
， 9分

则

其中，恰好有一人分数在
内的基本事件有




共8个，

故所求的概率得

答：恰好有一人分数在
内的概率为
8分

（3）全班人数共
人，根据各分数段人数计算得各分数段的频率为：

分数段













频率













 10分

所以估计这次测试的平均成绩为：

． 12分

考点：1.茎叶图.2.概率问题.3.频率直方图估算平均数.

19.(1)
,由
得
(2分)

x







2





f’(x)

+

0

-

0

+



f(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗



由上表得, f(x)的单调增区间为
,
；单调减区间为
;

当
时f(x)有极大值
,当x=2时, f(x)有极小值-8． (6分)

(2)由题知,只需要函数y= f(x) 和函数y=a 的图像有两个交点． (7分)

,所以

由(1)知f(x)在,当
上单调递减,
上单调递增,在
在上单调递减． (10分)

∴当
时, y= f(x) 和y=a 的图像有两个交点．即方程f(x)=a在区间
上有三个根． (12分)

考点：函数的单调区间和极值;函数图像的交点与方程的根的对应关系．

20. （Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，

因为BD(平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，BC＝AB＝2． …5分

设AC∩BD＝O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB＝b，OC＝c，

则P(0，－c，2)，B(b，0，0)，E(0，－c，1)，C(0，c，0)．

＝(b，c，－2)，＝(b，0，0)，＝(0，－c，1)．

设n＝(x，y，z)是面EBD的一个法向量，则n·＝n·＝0，

即取n＝(0，1，c)． …8分

依题意，BC＝＝2． ①

记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件

sinθ＝＝＝． ②

解得b＝，c＝1． …10分

所以四棱锥P-ABCD的体积

V＝×2OB·OC·PA＝×2×1×2＝． …12分

21. (1) ；（2）

试题解析：（1）由已知得：
，，所以

又由
，解得
，所以椭圆的标准方程为：.

（2）椭圆方程化为.

设T点的坐标为
，则直线TF的斜率
.

当
时，直线PQ的斜率
，直线PQ的方程是

当
时，直线PQ的方程是
，也符合的形式.

将代入椭圆方程得：.

其判别式
.

设
，

则
.

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以
，即
.

所以
，解得
.

此时四边形OPTQ的面积

.

【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.

22．（1）
；（2）a＝2；（3）0≤a≤4

试题解析：（1）当a＝1时，
. 1分

因为f '（1）＝0，. 1分

1分

所以切线方程为
1分

（2）函数
的定义域是
.

当a＞0时，

令f '（x）＝0，即
，

所以x＝1或
. 1分

①当
，即a≥1时，f（x）在［1，e]上单调递增，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是
，解得
； 1分

②当
时，f（x）在［1，e]上的最小值是
，即

令
，
， 1分

可得：
，

而
，
，不合题意，舍去； 1分

③当
时，f（x）在[1，e]上单调递减，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是
，

解得
，不合题意，舍去. 1分

综上：a＝2. 1分

（3）设g（x）＝f（x）＋x，则
，

只要g（x）在（0，＋∞）上单调递增即可. 1分