1.下列命题是真命题的是 （ ）

A．
的充要条件 B．
的充分条件

C．
D．若
为真命题，则
为真

2.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝ (　 　)

A.　 B.　 C.　 　D.

3.两直线y＝x＋2a,y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部,则实数a的取值范围是 ( )

A．－ ＜a＜1 B．a＞1或＜－ C．－≤a＜1 D．a≥1或a≤－

4. 已知:
若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

5. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，

则该四棱锥的体积等于 ( )

A．1　　 　B．2　　　 　C．3　　　 D．4

6.已知
为异面直线,
平面,
平面
.

直线满足
,则 （　　）

A．
,且
B．
,且

C．与
相交,且交线垂直于 D．与
相交,且交线平行于

7．正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB＝90°，则GM的长为 ( )

A． B． C． D．

8.如图在三棱锥
中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，
底面
，
为垂足，则侧棱
与底面
所成角的余弦值为 ( )

A．
B．

C．
D．

9.直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，
，则
与
所成的角的余弦值为 ( )

A．
B．
C．
D．

10.若双曲线
的离心率为
,则其渐近线方程为 ( )

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为
, 则p = ( )

A．1 B．
C．2 D．3

12.已知双曲线
的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 (　　)

A.－＝1　　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1

试卷Ⅱ（共 90 分）

二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）

13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________.

14. 设直线
与球有且只有一个公共点，从直线
出发的两个半平面
截球的两个截面圆的半径分别为1和
，二面角
的平面角为
，则球的表面积为 .

15.已知椭圆C：
的左右焦点分别为
，点P为椭圆C上的任意一点，若以
三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 .

16.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角, 则a的取值范围为 .

三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。请把解答过程写在答题纸上）

17.已知
关于的不等式

，
，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18. 已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6，AB=4.计算球的表面积与体积.

19．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；

(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为
，求线段AM的长．

20. 已知点是椭圆
上的动点，M为过且垂直于轴的直线上的点，
.求点
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

21. .已知抛物线
，是否存在正数，对于过点
且与抛物线有两个交点
的任一直线都有
?若存在求出的取值范围，若不存在请说明理由。

22. 设椭圆E:
（a,b>0）过M（2，
） ，N(
,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

答案

19.解：(方法一)

(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

易得
＝(1,0，－1)，
＝(－1,1，－1)，于是
·
＝0，

所以B1C1⊥CE.

(2)
＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

则
即

消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，

故
＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

于是cos〈m，
〉＝
，

从而sin〈m，
〉＝
.

所以二面角B1－CE－C1的正弦值为
.

(方法二)

(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，

所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E＝
，B1C1＝
，EC1＝
，

从而B1E2＝
，

所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，

又CC1，C1E平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，

所以B1C1⊥平面CC1E，

又CE平面CC1E，故B1C1⊥CE.

(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.

由(1)，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，

所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角．

在△CC1E中，由CE＝C1E＝
，CC1＝2，可得C1G＝
.

在Rt△B1C1G中，B1G＝
，

所以sin∠B1GC1＝
，

即二面角B1－CE－C1的正弦值为
.

20.设
，其中
。由已知
及点在椭圆
上可得

。

整理得
，其中
。

（i）
时。化简得

所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于轴的线段。

21．（II）设过点M（
（
的直线
与曲线C的交点为A
，
设
的方程为
，由

得
，
，于是
①

又
，

②

又
于是不等式②等价于

③

把①式代入不等式③有
④

对任意实数t，4
的最小值是0，所以不等式④对于一切t成立等价于
，

即

由此可知，存在正数m，对于过点M（m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有
,且m 的取值范围是（

22. 解:假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
,设该圆的切线方程为
解方程组
得
,即
,

则△=
,即

,
要使
,需使
,即
,所以
,所以
又
,所以
,所以
,即
或
,因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
,
,
,所求的圆为
,此时圆的切线
都满足
或
,而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
的两个交点为
或
满足
,综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
.