命题人：张磊芳 审核：倪其圣 2014.12.22

1．本试题满分160分，考试时间：120分钟．

2．答题前请将试卷答题卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题．

3．将答案填写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束只交答题卷．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。只填结果，不要过程！）

1.已知函数
，则
的导函数
= ▲ .

2.命题“
”的否定是 ▲ .

3.双曲线
的渐近线方程为 ▲ .

4.过点
且与直线
垂直的直线的方程为 ▲ ；

5. 圆心为
，且经过点
的圆的标准方程为 ▲ ．

6.已知
中，
则
边上的高
的长为 ▲ ；

7.已知两条直线

若直线
与直线
平行，则实数
▲ ；

8.已知命题p“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题p为真命题，q是假命题，则实数a的取值范围是___▲__．

9.方程x2＋mx＋1＝0的两根，一根大于2，另一根小于2的充要条件是__▲____．

10.函数
的值域为 ▲ ．

11.已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且
轴，则双曲线的离心率为 ▲ .

12.函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图象如图所示，则函数
在开区间
内的极小值点的个数为 ▲ 个.

13.点是椭圆
上的动点，
为椭圆的左焦点，定点
，则
的最大值为 ▲　　_______

14．设奇函数
定义在
上，其导函数为
，且
，当
时，
,则关于的不等式
的解集为 ▲ ．

二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本题满分14分）

已知：
，不等式
恒成立，：椭圆
的焦点在x轴上．若命题
为真命题，求实数m的取值范围．

16. （本题满分14分） 如图,已知斜三棱柱
中,
,为
的中点.

(1) （7分）若
，求证:
；

(2) （7分）求证:
// 平面

17. （本题满分14分）设
．

（1）求函数
的单调递增、递减区间；

（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值．

18．（本题满分16分）

如图，储油灌的表面积
为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，

半球的半径等于圆柱底面半径．

⑴试用半径表示出储油灌的容积
，并写出的范围．

⑵当圆柱高
与半径的比为多少时，储油灌的容积
最大？

19．（本题满分16分）

已知椭圆G：
过点
，
，C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．

20. （本题满分16分）已知函数
，（为常数，为自然对数的底）．

（1）令
，
，求
和
；

（2）若函数
在
时取得极小值，试确定的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设由
的极大值构成的函数为
，试判断曲线
只可能与直线
、
（，为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．



一.填空题

二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.解：：
； ……….4分；：
，……….8分；

由
为真知，
皆为真，…………10分 ；解得
．………..14分

16.【答案】证明:(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC. …… 2分

因为
，
，所以
，…… 4分

，所以
平面BCC1B1 ，…… 6分

因为DC1(平面BCC1B1,所以AD⊥DC1 …… 7分

(2) 连结A1C,交AC1于点O,连结OD, 则O为A1C的中点.

因为D为BC的中点,所以OD//A1B …… 9分

因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1, …… 12分

所以A1B//平面ADC1 …… 14分

17.解：（1）
，…………2分

由
得
或
，……………4分

所以
的单调增区间为
和
，减区间为
； …………6分

（2）列表如下

－1







1



2







+

0

-

0

+











极大值



极小值



7



所以
的最大值为7，最小值为
．………………14分

18．（本小题满分16分）

如图，储油灌的表面积
为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，

半球的半径等于圆柱底面半径．

⑴试用半径表示出储油灌的容积
，并写出的范围．

⑵当圆柱高
与半径的比为多少时，储油灌的容积
最大？

18⑴
，
， ……3分

； ……7分

⑵
，令
，得
，…………………9分

列表





















↗

极大值即最大值

↘





……13分

∴当
时，体积
取得最大值，此时
，
……………16分

19．（本题满分16分）

直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．

19．解：（1）将点A（0，5），B（-8，-3）代入椭圆G 的方程解得
………..4分

（2）连结OB，

则
，………….6分

其中
,
分别表示点A，点B 到直线CD 的距离．

设直线CD方程为y = kx，代入椭圆方程
得
，………..8分

解得：
，………………10分

，

又
，
……………….12分

20.已知函数
，（为常数，为自然对数的底）．

（1）令
，
，求
和
；

（2）若函数
在
时取得极小值，试确定的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设由
的极大值构成的函数为
，试判断曲线
只可能与直线
、
（，为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

20.解：（1）
，
4分

（2）

，令
，得
或
，

当
时，
恒成立，此时
单调递减；

当
时，
，若
，则
，若
，

则
，
是函数
的极小值点； ………………………………8分

当
时，
，若
，则
，若
，则
，

此时
是函数
的极大值点，

综上所述，使函数
在
时取得极小值的的取值范围是
………………10分

（3）由（Ⅰ）知
，且当
时，
，

因此
是
的极大值点，
，

于是
……………………………………………………12分

，

令
，

则
恒成立，即
在
是增函数，…………………14分

所以当
时，
，即恒有
，

又直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，

所以由导数的几何意义知曲线
只可能与直线
相切………………16分.