数学Ⅰ

一、填空题

1. 命题“
”的否定是 .

2. 抛物线
的准线方程是　　　　．

3.已知
的周长为16，点B（-3，0），C（3，0），则顶点A的轨迹方程为 .

4. 已知
，则
的最小值为 .

5. 已知双曲线的渐近线方程为
，且点P（
）在双曲线上，则双曲线的方程为 ．

6. 下列四个命题：（1）“若
，则
”的否命题;

(2)“若
，则
”的逆否命题；

(3)在
中，“
”是“
”的充分不必要条件；

(4) “数列
的前n项和是
”是“数列
是等差数列”的充要条件.

其中真命题的序号是___________________(真命题的序号都填上) （1）(4)

7. 等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
= ．-2

8.若抛物线
上的点
到焦点的距离为6，则p= ．8

9.若不等式
成立的一个充分不必要条件是
，则实数的取值范围是 　 　.

10. 已知点P (x，y) 满足条件
y的最大值为8，则
.

11. 数列
的前n项和
，则
．

12.关于x的不等式
的解集为
，则p+q= . 6

13. 在直角坐标系中，过双曲线
的左焦点作圆
的一条切线（切点为）交双曲线右支于，若
为线段
的中点，则
= ．2

14.如图所示，设曲线
上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，…，直角顶点在曲线
上，则x轴上的点An（n=1，2，3，…，n，…）的横坐标依次组成的数列为
，则数列
的通项公式为 ．

二、解答题

15. （本题14分）已知命题p：方程
表示双曲线，命题q：关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个相异实根均大于3．若p、q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．解：p真：
………………………………………4分

q真：
………………………………………9分

p、q中有且仅有一个为真命题，则P真q假 或 p假q真

所以，
或
………………………………………14分

16. （本题14分）已知数列
的前n项和

（1）求数列
的通项公式，并证明
为等差数列；

（2） 记
，
，若
，
，求m的取值范围．

解：（1）
………………………………………4分

……………………………………6分

（2）
…………………………………10分

在
上单调递增，所以n=1时

所以m的取值范围是
…………………………14分

17. （本题14分）已知椭圆C：
，

（1）若直线l过点Q（1，1），交椭圆C于A、B两点，求直线l的方程使得Q为AB的中点；

（2）定点M（0，2），P为椭圆C上任意一点，求线段PM的最大值．

解：（1）
…………………………7分

（2）
…………………………14分

18. （本题16分）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即
=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客
的眼睛到地面的距离
在区间
内. 设支架
高为
㎝,
㎝, 顾客可视的镜像范围为
(如图所示), 记
的长度为（
）.

（Ⅰ） 当
㎝时, 试求关于的函数关系式和的最大值；

（Ⅱ） 当顾客的鞋在镜中的像
满足不等关系
（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求
的取值范围.

(1) 因为
,
,所以由
,即
,解得
,

同理,由
,即
, 解得
…………………………………2分

…… 5分

, 因为
在
上单调递增,所以在
上单调递减,故当
㎝时,取得最大值为140㎝…………………8分

(2)由
,得
,由
,得
,所以由题意知
,即
对
恒成立……12分

从而
对
恒成立,解得
,

故
的取值范围是
……16分

19. （本题16分）已知直线
经过椭圆
的左顶点A和上顶点D，椭圆
的右顶点为，点
和椭圆
上位于轴上方的动点，直线
与直线
分别交于
两点．（I）求椭圆
的方程；（Ⅱ）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）求线段MN的长度的最小值

解：（I）由已知得，椭圆
的左顶点为
上顶点为

故椭圆
的方程为
……………………4分

（Ⅱ）设

……………………9分

（Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率
显然存在，且
，

故可设直线
的方程为
，从而
………………11分

由
得
0

设
则
得
，从而

即
又
由
得

……13分

故
又

当且仅当
，即
时等号成立
时，线段
的长度取最小值
………16分

（Ⅲ）方法二：利用第2问结论设

………13分

故
当且仅当
时等号成立

即M,N的长度的最小值为
……………16分

20. 设等比数列
的首项为
，公比为（为正整数），且满足
是
与
的等差中项；数列
满足
（
）.

（1）求数列
的通项公式；

（2）试确定的值，使得数列
为等差数列；

（3）当
为等差数列时，对每个正整数
，在
与
之间插入
个2，得到一个新数列
. 设
是数列
的前项和，是否存在m，使得
成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由.

解析 ：解：（1）


………………………………………………………4分

（2）
得
，所以

则由
，得
……………………………………………………8分

当
时，
，由
，所以数列
为等差数列………10分

（3）存在
=89 ………………………………………16分

如东中学高二第一学期数学阶段测试（含答案）

数学Ⅱ

2. 已知矩阵M
所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标．

解答：(1)解:依题意得由
得
,故
……………………5分

从而由
得

故
为所求. ………………10分

3.已知椭圆
内一点A（
），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点P，求
的最小值及取得最小值时点P的坐标．

答案：最小值7， … ……………5分

点P（
） … ……………10分

4. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，焦点为F.圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交圆M于另一点B，且AO＝OB＝2.

(1)求圆M和抛物线C的方程；

(2)若P为抛物线C上的动点，求·的最小值；

(3)过l上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

解　(1)因为＝OA·cos 60°＝2×＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.

设圆M的半径为r，则r＝·＝2，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝4.