陕西省西安市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试文科数学试题

选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共12小题，每小题3分，共36分）.

1. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　) .

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

2. 若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　 　) .

A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3. 已知命题：任意x∈R，sinx≤1，则它的否定是 (　　) .

A．存在
B．任意

C．存在
D．任意

4． 在下列命题中，假命题是 （ ）．

A. 存在
B. 存在

C．任意
D.任意
5. 已知某物体的运动方程是
，则当
时的瞬时速度是（ ）.

A．
B．
C.
D.

6. 设双曲线
的虚轴长为2，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为（ ）.

A.
B .
C .
D.

7. 设曲线
在点（3，2）处的切线与直线
垂直，则
( ) .

A．2 B．
C．
D.

8. 设
，若
，则
＝(　 　)．

A．
B．
C．
D．e

9. 已知点F，直线
：x＝－，点B是
上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点
,则点
的轨迹是(　 　)．

A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线

10. 过双曲线
的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若｜AB｜＝4，则这样的直线有( ) ．

A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条

11. 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准

线的距离之和的最小值为(　 　) .

A. B．3 C. D.

12. 直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　) .

A. B. －1 C.  D．4－2

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.

13. 若焦点在轴上的椭圆
的离心率为
，则
的值等于________．

14. 已知
，则
．

15. 抛物线
的焦点坐标是 ．

16．已知点在曲线
上，曲线在点处的切线平行于
，则点的坐标为________.　

17. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于
两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共44分）

18. (10分) 命题p：实数x满足
，其中a<0；命题q：实数x满足
或
，且
是
的必要不充分条件，求a的取值范围．

19.（10分） 抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线
与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．

20. 在直角坐标系xoy中，点P到两点
的距离之和等于4，设P点的轨迹为曲线C，过点M（1,0）的直线l与曲线C交于A、B两点。

（1）求曲线C的方程；

（2）求
的取值范围.

21.（12分）设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

西安市第一中学2014-2015学年度第一学期期末考试

高二数学（文）试题参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

A

D

C

C

B

D

D

C

A

B



二、填空题

13. 4 14.
15.
16. （1,0） 17. 2

三、解答题

18.解： p： (x-3a)(x-a)<0，∵a<0，∴3a

q：
，∵
………………..7分

∴
，又
为
的必要不充分条件∴
………………..10分

19.解（1）由题意可知p=2。……1分∴抛物线标准方程为：x2=4y…………3分

（2）直线l：y=2x+l过抛物线的焦点
，设

联立
得x2－8x－4=0………………6分

∴x1+x2=8……………8分

∴
……………10分

20. 解（1）
………………4分

（2）10当l的斜率为0时，设
………………6分

20当l的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时A点、B点坐标为
，

故
…………8分

30当l的斜率存在且不为0时，设
，联立
，得
∴
，

=

=

=

=
……………………11分

综上可知
的取值范围为
…………12分

21.解(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.

又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.

(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，

由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.