邯郸市2014-2015学年第一学期教学质量检测

高二数学理科答案

三、解答题

17、 解：(1) ∵
∴
∴
又∵
∴

∴

即数列
的通项公式为
.
4分

(2)∵
，

∴

.
10分

18、解一：（1）∵
，

∴
,…………………………………………2分

∴
，

整理得
…………………………………………4分

即
,

解得
，

∴
.…………………………………………6分

（2）由（1）及余弦定理得
①，………………………………8分

又
，∴
②，

由①②得
③. …………………………………………10分

∵

∴
代入③得
.…………………………………………12分

解二：∵
，

∴
，…………………………………………2分

整理得
，

∴
，…………………………………………4分

∴
.…………………………………………6分

（2）由（1）及余弦定理得
①，………………………………8分

又
，∴
②，

由①②得
③. …………………………………………10分

∵

∴
代入③得
.…………………………………………12分

19、解：（1）由题意得
，…………………2分

将
代入化简得：
.…………………………6分

（2）

………………………………………………………9分

当且仅当
，即
时等号成立.…………11分

∴当促销费用投入
万元时，厂家的销售利润最大为
.

…………………12分

注：如果学生用求导的方式得到该结果，请根据学生的解答情况给分.

20、（1）

证明：易知
,
,
两两垂直，如图建立
为坐标原点，
,
,
所在直线为，，轴的空间直角坐标系，则
，

，
，
，

………………2分

∴
，
，

而
,

,………………………………4分

∴
,
即
,

又
,
平面

∴
平面
…………………………………………6分

（2）解：由（1）知

设平面
的一个法向量为
，

由
, 解得
，

∴
…………………………………………8分

同理设平面
的一个法向量为
，

由
, 解得
，

∴
…………………………………………10分

∴

∴二面角
的余弦值为
.…………………………12分

21、解：（1）∵
时，

∴
，…………………………………………2分

令
，解得
，
.

…………………………………………4分

∴当
时，
有极大值，并且极大值为
；

当
时，
有极小值，并且极小值为
.………………6分

（2）若对任意的
，
恒成立，则当
时，
恒成立. …………………………………………7分

由（1）知当
时，
有极大值
，当
时，
有极小值
，
，

所以对任意的
，
，……………………… 10分

所以
，解得
.…………………………12分

22、解：（1）设点
坐标为
,

∵点,的坐标分别为
，
,

∴直线
,
的斜率分别为
、
.……2分

∴由题有
，

化简得点
的轨迹方程为
.…………………………4分

（2）设
，
，直线
：
.

联立方程
，整理得
，………………6分

则
，
.

又∵
，……………………………8分

而
，

，…………………………………………10分

∴
，为定值……12分