一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

2．已知是虚数单位，和都是实数，且
，则
（ ）

A．
　　　　B．　　　　C．
　　　　D．

3. 已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程

必过点（ ）

0

1

2

3





1

3

5

7





A．
B．
C．
D．

4. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （ ）

A．6 B．12 C．24 D．36

5.“实数
”是“直线
和直线
相互平行”的（ ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知各项为正的等比数列
中，
与
的等比中项为
，则
的最小值

为( )

A．16 B．8 C．
D．4

8. 执行右图所示的程序框图，若输入
，则输出的值为

A．
　　B．
　　C．
　　D．

9. 若直线
和⊙O∶
相离,则过点
的

直线与椭圆
的交点个数为(　 )

A. 至多一个　　 B. 2个 　 　C. 1个　　 D. 0个

10.设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为12，则
的最小值为(　 )

A．
B．
C．
D．4

11. 过椭圆
的左顶点A的斜率为
的直线交椭圆
于另一个点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若
则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 若定义在R上的函数
满足，且当
时，
，函数
，则函数
在区间
内的零点的个数为（ ）

A．6 B. 7 C. 8 D. 9

二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出

人．

14.在
内任取一个实数，设
，则函数
的图像与轴有公共点的概率等于 。

15. 已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数

的取值范围是 。

16.（1）“数列
为等比数列”是“数列
为等比数列”的充分不必要条件.

（2）“
”是
在区间
上为增函数”的充要条件.

（3）已知命题
，使得
；
，使得
．则
是真命题.

（4）设
分别是
的内角
的对边,若
.则
是
的必要不充分条件.

其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）

已知
为等比数列,其中
,且
成等差数列.

(1)求数列
的通项公式；

(2)设
,求数列
的前项和
.

18.(本小题满分12分)

在三角形
中，
.

(1)求角
的大小；

(2)若
，且
，求
的面积．

19. (本小题满分12分)

某工厂生产
两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：

7

7

7.5

9

9.5





6



8.5

8.5





由于表格被污损，数据
看不清，统计员只记得
，且
两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．

(1)求表格中与的值；

(2)若从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．

20.（本小题满分12分）如图，棱锥
中，
底面
，底面
是矩形，
，
.

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）在
边上是否存在一点
，使得点到平面
的距离为2，

若存在，求
的值，若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分12分）已知
是抛物线
上一点，经过点
的直线与抛物线交于
两点（不同于点），直线
分别交直线
于点
.

（1）求抛物线方程及其焦点坐标；

（2）已知为原点，求证：
为定值.

22. （本小题满分12分）设
，函数
.

（1）若函数
的图象在
处的切线与直线
平行，求的值；

（2）若
，求函数
的极值与单调区间；

若函数
的图象与直线
有三个公共点，求的取值范围.



(2)因为
，所以
或
．

当
时，A＝90°，则
；(8分)

当
时，由正弦定理得
.

由
，可知
. (10分)

所以
. (12分)

19.解：(1)因为
，

且
，所以
.① …………2分

因为
，

，且
，

所以
.② …………4分

由①②解得
, 因为
，所以
………6分

(2)记被检测的5件种元件分别为
，其中为正品的是
，从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：

；……………………8分

记“2件都为正品”为事件
，则事件
包含以下6个基本事件：

……………10分

所以
＝
＝
，即2件都为正品的概率为
……………………………12分

20.解（Ⅰ）证明：如图2，∵矩形
中
， ……………………………（2分）

又∵
底面
，且
平面ABCD，∴
．

又∵
，∴
平面PAD，……………………（4分）

又∵
平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．…………………………（6分）

（Ⅱ）解：如图3，假设
边上存在一点
满足题设条件，令
，

∵矩形ABCD中AB＝2，BC＝4．且PA⊥底面ABCD，PA＝2，

则在
中
，…………………………（6分）

∵PA⊥底面ABCD，
，

． ………………………………（8分）

又∵
，
，解之
．

故存在点M，当BM＝
时，使点D到平面PAM的距离为2．…………………（12分）

21.解：（Ⅰ）将
代入
，得
………………2分

所以抛物线方程为
，焦点坐标为
………………4分

（Ⅱ）设
，
，
，

直线
的方程为：
，即
，

令
，得
同理可得：
………………8分

又
，

………10分

所以
，即
为定值
………………12分

22.解：

（1）
，所以
，此时，切点为
，切线方程为
，它与已知直线平行，符合题意. ……………2分

（2）
时，
，

当
时，
，当
，或
时，
，

所以，
的单调减区间为
，单调增区间为
和
；………4分

当
时，
有极小值
，

当
时，
有极大值
…………………………………6分

(3)当
时，
，它与
没有三个公共点，不符合题意………7分

当
时，由
知，

在
和
上单调递增，在
上单调递减，

又
，
，所以
，即
，

又因为
，所以
；…………………………………………9分

当
时，由
知，

在
和
上单调递减，在
上单调递增，

又
，
，所以
，即
，

又因为
，所以
；……………………………………………11分

综上所述，的取值范围是

………………………………12分