唐山市2014～2015学年度高二年级第一学期期末考试

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：

A卷： AACDB BCCBD CD

B卷：BDCDB ACACD BD

二、填空题：

（13）y＝－ （14）2 （15）30( （16）2

三、解答题：

（17）解：

若命题p为真，则有(＝m2－6＜0，解得－＜m＜．

若命题q为真，则有解得1＜m＜3． …6分

因为“p∧q”为真命题，所以p，q均为真命题，

故有解得1＜m＜．

故所求实数m的取值范围是1＜m＜． …10分

（18）解：

（Ⅰ）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，

故解此方程组，得D＝－6，E＝8，F＝0．

故所求圆C的方程为x2＋y2－6x＋8y＝0． …6分

（Ⅱ）直线AB的方程为x－3y－20＝0，故设直线l的方程为3x＋y＋m＝0．

由题意，圆心C(3，－4)到直线AB与直线l的距离相等，

故有＝，

解得m＝0或m＝－10．

所以直线l的方程为3x＋y＝0或3x＋y－10＝0． …12分

（19）解：

连结BD，设BD∩AC＝O，易知O为DB的中点．

又E为PD的中点，

所以在△PDB中，OE为其一条中位线，

所以PB∥OE．

又OE(平面EAC，PB平面EAC，

故PB∥平面EAC． …6分

（Ⅱ）因为FD＝PD，

所以点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离

与点P到平面ABCD的距离比为1∶3，

又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，

所以三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比为1∶6． …12分

（20）解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－，

由抛物线的定义可知：|MF|＝1－(－)＝2，解得p＝2，

因此，抛物线C的方程为y2＝4x． …5分（Ⅱ）设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y＝4x1，y＝4x2．

∵|OA|＝|OB|，∴x＋y＝x＋y，即

x－x＋4x1－4x2＝0((x1－x2)(x1＋x2＋4)＝0．

∵x1＞0，x2＞0，∴x1＝x2，即|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．…8分

因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30(，不妨取y1＞0，所以＝tan30(＝．

因为x1＝，所以y1＝4，

故正三角形的边长|AB|＝2y1＝8． …12分

（21）解：

（Ⅰ）因为BC＝，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，

在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B＝，

所以C1B2＋BC2＝CC，C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，

又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC． …6分

（Ⅱ）易知BB1∥平面ACC1，又点E在BB1上，

所以点E到平面ACC1的距离等于点B到平面ACC1的距离．

在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，所以AC＝．

同理可求得AC1＝．

设点B到平面ACC1的距离为d，在四面体C1-ABC中，

VB－ACC1＝VA－BCC1，即S△ACC1×d＝S△BCC1×AB，

所以××2××d＝××××2，解得d＝．

即点E到平面ACC1的距离为． …12分

（22）解：

（Ⅰ）由题意，有e2＝1－＝，所以得a2＝3b2，即椭圆C的方程为＋＝1．

因为点P在C上，将点P(，)的坐标代入，得b2＝1，进而a2＝3，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1． …5分

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x＝1，代入＋y2＝1，

得M(1，)，N(1，－)，|MN|＝≠，不合题意． …7分

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，

由题意，有＝1，即m2＝k2＋1．

将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以

|MN|＝＝＝×

＝＝，整理，得k4－2k2＋1＝0，解得k2＝1，k＝±1．

综上，可知直线l的斜率为±1． …12分