唐山市2014～2015学年度高二年级第一学期期末考试

理科数学参考答案及评分标准

选择题：

A卷：AACDA ACCBD DB

B卷：CACDB ACBBD BD

二、填空题：

（13）y＝－ （14）2 （15） （16）(1，2)

三、解答题：

（17）解：

若命题p为真，则有(＝m2－6＜0，解得－＜m＜．

若命题q为真，则有解得1＜m＜3． …6分

因为“p∧q”为真命题，所以p，q均为真命题，

故有解得1＜m＜．

故所求实数m的取值范围是1＜m＜． …10分

（18）解：

（Ⅰ）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，

故解此方程组，得D＝－6，E＝8，F＝0．

故所求圆C的方程为x2＋y2－6x＋8y＝0． …6分

（Ⅱ）直线AB的方程为x－3y－20＝0，故设直线l的方程为3x＋y＋m＝0．

由题意，圆心C(3，－4)到直线AB与直线l的距离相等，

故有＝，

解得m＝0或m＝－10．

所以直线l的方程为3x＋y＝0或3x＋y－10＝0． …12分

（19）解：

（Ⅰ）连结BD，设BD∩AC＝O，易知O为DB的中点．

又E为PD的中点，

所以在△PDB中，OE为其一条中位线，

所以PB∥OE．

又OE(平面EAC，PB平面EAC，

故PB∥平面EAC． …6分

（Ⅱ）因为FD＝PD，

所以点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离

与点P到平面ABCD的距离比为1∶3，

又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，

所以三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比为1∶6． …12分

（20）解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－，

由抛物线的定义可知：|MF|＝1－(－)＝2，解得p＝2，

因此，抛物线C的方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）F(1，0)，设直线l的方程为x－1＝my，将其代入y2＝4x，得

y2－4my－4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，

则y1＋y2＝4m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2．

因为OAPB为平行四边形，所以

即消去m，得y2＝4(x－2)，

所以点P的轨迹方程为y2＝4(x－2)． …12分

（21）解：

（Ⅰ）因为BC＝，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，

在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B＝，

所以C1B2＋BC2＝CC，C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，

又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1两两垂直，

以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(，0，0)，

＝(0，2，－)，＝＋λ＝＋λ＝(－λ，0，λ－)，

设平面AC1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，则有

即

令z＝，取m＝(，1，)，

又平面C1EC的一个法向量为n＝(0，1，0)，

所以cos(m，n(＝＝＝，解得λ＝．

所以当λ＝时，二面角A-C1E-C的余弦值为. …12分

（22）解：（Ⅰ）由题意，有B(，)，将点B的坐标代入＋＝1，

得a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)，3c2＝2a2，

故椭圆C的离心率e＝＝． …5分（Ⅱ）由题意，得b2＝1，a2＝3．当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x＝1，代入＋y2＝1，

得M(1，)，N(1，－)，|MN|＝． …7分当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，由题意，

有＝1，即m2＝k2＋1．将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝＝ ＝×＝ ＝≤＝（当且仅当k2＝1时取“＝”）．因为＞，所以|MN|的最大值为． …12分