（时量：120分钟 总分：150分）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．若
，且
，则实数
的值是

A．
B．
C． D．

2．不等式
的解集是

A．
B．

C．
D．

3．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则的值为

A．
B． C． D．

4．若命题：
，
，命题：
，
，则下列说法正确的是

A.命题
是假命题 B. 命题
是真命题

C. 命题
是真命题 D.命题
是假命题

5．等差数列
中,
, 那么它的公差是

A．4 B．5 C．6 D．7

6．设
，且
，则

A．
B．
C．
D．

7．在△ABC中，
，则角C=

A．
B．
C．
D．

8．由直线
，
，曲线
及轴所围成的封闭图形的面积是

A.
B.
C.
D.

9．已知
满足
，则
的最大值等于

A．
B．
C． D．

10．已知直线
与椭圆
恒有公共点，则实数的取值范围为

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则y与x的线性回归方程为
必过点 ．

12. 观察下列式子：

根据以上式子可以猜想：
_________.

13．已知
，则函数
的最小值是 ．

14．对于三次函数
，定义：
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条件，则函数
的对称中心为__________.

15．是双曲线
的右支上一点，
、
分别是圆
和

上的点，则
的最大值等于_________.

三、解答题（本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知△
的内角
所对的边分别为
，且
，
。

（1）若
，求
的值；

（2）若△
的面积
，求
，的值.

17．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面
，
，

分别为
的中点，
.

（1）求证：平面
平面
；

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

18．（本小题满分12分）

已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元，且
.

（1）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？

（注：年利润=年销售收入年总成本）

19．（本小题满分13分）

数列
是首项为1的等差数列，且公差不为零.而等比数列
的前三项分别是
.

（1）求数列
的通项公式
；

（2）若
，求正整数
的值。

20．（本小题满分13分）

已知椭圆E：
的离心率
，并且经过定点
。

（1）求椭圆E的方程；

（2）问是否存在直线
，使直线与椭圆交于
两点，满足
，若存在，求的值，若不存在，说明理由.

21．（本小题满分13分）

已知函数

，其中为实数.

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：

，对任意的正整数
成立.

娄底市2014-2015学年上学期高二教学检测

数学（理科）

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．若
，且
，则实数
的值是

A．
B．
C． D．

【答案】D

【解析】略.

2．不等式
的解集是

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】注意分解因式后变量系数的正负.

3．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则的值为

A．
B． C． D．

【答案】C

【解析】由
得到椭圆的右焦点为
，所以抛物线
的焦点
，则
.

4．若命题：
，
，命题：
，
，则下列说法正确的是

A.命题
是假命题 B. 命题
是真命题

C. 命题
是真命题 D.命题
是假命题

【答案】B

【解析】命题为真命题，命题为假命题，
为真命题.所以B正确.

5．等差数列
中,
, 那么它的公差是

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】由等差中项得

,
解得
，所以公差
.

6．设
，且
，则

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】A．
,
时不成立，B．
，
时不成立，C．

也不成立，D．只要
,
恒成立.

7．在

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】
，且
,故
.

8．由直线
，
，曲线
及轴所围成的封闭图形的面积是

A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】的范围为
.所以
，选A.

9．已知
满足
，则
的最大值等于

A．
B．
C． D．

【答案】C

【解析】作出不等式
表示的平面区域为
边界及内部区域，
表示
点和
的连线的斜率，易知：
点和
连线的斜率最大，所以
，故答案为C．

10．已知直线
与椭圆
恒有公共点，则实数的取值范围为

A．
B．

C．
D．

【答案】C

【解析】由题可知：
表示的是椭圆，故
，判断直线与曲线交点的问题，需将两个方程联立，
，恒有公共点要求
对
恒成立，所以
，整理可得
，由于
的最小值为0，所以
，即
.

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则y与x的线性回归方程为
必过点 ．

【答案】
.

【解析】线性回归方程必过样本中心点坐标
，
，所以过点
.

12. 观察下列式子：

,…

根据以上式子可以猜想：
_________.

【答案】
.

13．已知
，则函数
的最小值是 ．

【答案】.

【解析】∵
∴
，当
时取得等号，故可知函数的最大值为
.

14．对于三次函数
，定义：
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条件，则函数
的对称中心为__________.

【答案】

【解析】
，
，令
，得
.又
，

所以
的对称中心为
.

15．是双曲线
的右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值等于_________.

【答案】9

【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，
，
，再根据双曲线的定义得
的最大值为
.

三、解答题：本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知△
的内角
所对的边分别为
，且
，
.

（1）若
，求
的值；

（2）若△
的面积
，求
，的值.

17．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面
，
，
分别为
的中点，
．

（1）求证：平面
平面
．

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

【答案】（1）∵四边形
是菱形，

∴
．

在
中，
，
，∴
．

故
，即
． 又
， ∴
．

∵
平面
，
平面
，

∴

．又∵
，∴
平面

又∵
平面
，平面
平面
． …………………（6分）

（2）解法一：由（1）知
平面
，而
平面
，

∴平面
平面
∵
平面
，∴
．

由（1）知
，又

∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
．∴平面
是平面
与平面
的公垂面．

所以，
就是平面
与平面
所成的锐二面角的平面角．

在
中，
，即
．

又
，∴
．

故平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
．…………………（12分）

解法二：以为原点，
、
分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系
，如图所示．因为
，
，所以，

、
、
、
，

，
，

由（1）知
平面
，

故平面
的一个法向量为

设平面
的一个法向量为
，

则
，即
，令
，

则
． ∴
．

故平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
．…………………（12分）

18．（本小题满分12分）

已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元，且
.

（1）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？

（注：年利润=年销售收入年总成本）

【答案】（1）
；（2）当年产量为9万件时利润最大为