2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试

数学文试题

一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）

1．关于空间两条直线、
与平面，下列命题正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．
，则
D．若
则

2．命题“若
，则
”的逆否命题为（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3．已知抛物线
的准线与圆
相切，则的值为

A．
B．
C． D．

4．设斜率为2的直线
过抛物线
的焦点，且和轴交于点,若
（
为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为

A．
B．
C．
D．

5．设f（x）＝xln x，若f′（x0）＝2，则x0的值为

A．e2 B．e C． D．ln 2

6．双曲线
的渐近线与圆
相切，则

A．
B．2 C．3 D．6

7．设
、
分别为双曲线
，
的左、右焦点，双曲线上存在一点使得
，
，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

8．设椭圆

的左、右焦点分别为
，是
上的点，
，
，则
的离心率为

A．
B．
C．
D．

9．已知直线
和直线
，抛物线
上一动点到直线
和直线
的距离之和的最小值是

A．2 B．3 C．
D．

10．
的顶点
，
的内切圆圆心在直线
上，则顶点C的轨迹方程是

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

11．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．

12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的___必要不充分_____条件．

13．如果直线l将圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．

14．若函数f（x）＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________

15．椭圆
的焦点为
，点P在椭圆上，若
，则
的大小为 ．

16．过抛物线
的焦点F作倾斜角为
的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则
_______________．

17．在平面直角坐标系中，为原点，
，动点满足
，则
的最大值是 ．

三、解答题：本大题共5小题, 共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题12分）已知命题
函数
在定义域上单调递增；命题
不等式
对任意实数恒成立．若
是真命题，求实数的取值范围．

已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

19．（本题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．

（1）求双曲线方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；

（3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积．

20．（本题13分）已知椭圆C：x2＋2y2＝4．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

21．（本题14分）如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处（OC为河岸），tan∠BCO＝．

（1）求新桥BC的长．

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

22．（本题14分）设抛物线
过点
（是大于零的常数）．

（1）求抛物线
的方程；

（2）若是抛物线
的焦点，斜率为1的直线交抛物线
A,B两点,轴负半轴上的点
满足
，直线
相交于点， 当
时，求直线
的方程．

2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试

数学文试题参考答案

1-10AADBB ABDAC

11．2

12．略

13．

14．[2，＋∞）

15．

16．2

17．

三、解答题：本大题共5小题,共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．

解　由2x2＋ax－a2＝0得（2x－a）（x＋a）＝0, ∴x＝或x＝－a，

∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2．

又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2．∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2．

∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2．∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2．

即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．

19．

（1）解　∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ（λ≠0），

则由点（4，－）在双曲线上，可得λ＝42－（－）2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6．

（2）证明　∵点M（3，m）在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，

又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1（－2，0），F2（2，0），

∴·＝（－2－3，－m）·（2－3，－m）＝（－3）2－（2）2＋m2＝9－12＋3＝0，

∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．

（3）解　
＝×4×|m|＝6．

20．

解：（1）由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．

因此a＝2，c＝．故椭圆C的离心率e＝＝．

（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．

因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．

又x＋2y＝4，所以|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝＋（y0－2）2＝x＋y＋＋4

＝x＋＋＋4＝＋＋4　（0＜x≤4）．

因为＋≥4（0＜x≤4），当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．

故线段AB长度的最小值为2．

21．

解： 方法一：

（1）如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy．

由条件知A（0, 60）, C（170，0），

直线 BC 的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－．

又因为 AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB＝．

设点 B 的坐标为（a，b），

则kBC＝＝－， kAB＝＝，

解得a＝80, b＝120，

所以BC＝＝150．

因此新桥BC的长是150 m．

（2）设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m （0≤d≤60）．

由条件知，直线BC的方程为y＝－（x－170），

即4x＋3y－680＝0．

由于圆M与直线BC相切， 故点 M（0, d）到直线BC的距离是r，

即r＝＝．

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以

即

解得10≤d≤35．

故当d＝10时， r ＝最大，即圆面积最大，

所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．

方法二：

（1）如图所示， 延长 OA, CB 交于点F．

因为 tan∠FCO＝，

所以sin∠FCO＝， cos∠FCO＝．

因为OA＝60，OC＝170，

所以OF＝OC tan∠FCO＝， CF＝＝， 从而AF＝OF－OA＝．

因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB ＝sin∠FCO＝．

又因为 AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝， 从而BC＝CF－BF＝150．

因此新桥BC的长是150 m．

（2）设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m （0≤d≤60）．

因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO．

故由（1）知sin∠CFO＝＝＝＝， 所以r＝．

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，

所以

即

解得10≤d≤35．

故当d＝10时， r＝最大，即圆面积最大，

所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大．

22．（1）

（2）
和