2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试

数学理试题

考试时间：120分钟　　　　　　试卷满分：150

一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）

1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

2．函数
在
上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线
的一个焦点重合，则抛物线的标准方程可能是（　　）

A．
B．
C．
D．

4．执行如图所示的程序框图，如果输入的
，则输出的属于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设斜率为2的直线
过抛物线
的焦点，且和轴交于点,若
（
为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）．

A．
B．
C．
D．

6．已知椭圆
的左、右焦点为
，离心率为
，过
的直线
交
于
两点，若
的周长为
，则
的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．双曲线
的渐近线与圆
相切，则
（ ）

A．
B．2 C．3 D．6

8．设
、
分别为双曲线
，
的左、右焦点，双曲线上存在一点使得
，
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知直线
和直线
，抛物线
上一动点到直线
和直线
的距离之和的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．
D．

10．
的顶点
,
的内切圆圆心在直线
上，则顶点
的轨迹方程是（　　）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若
则
，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是____．

12．椭圆
的焦点为
，点P在椭圆上，若
，则
的大小为____．

13．过抛物线
的焦点F作倾斜角为
的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则
____．

14．在平面直角坐标系中，为原点，
，动点满足
，则
的最大值是____．

15．如图，在平面直角坐标系
中，
为椭圆
的四个顶点，为其右焦点，直线
与直线
相交于点T，线段
与椭圆的交点
恰为线段
的中点，则该椭圆的离心率为____．

三、解答题：本大题共6小题, 共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题12分）已知命题
函数
在定义域上单调递增；命题
不等式
对任意实数恒成立．若
是真命题，求实数的取值范围．

17．（本题12分）如图，四棱锥
中，底面是以
为中心的菱形，
底面
，
，
，
为
上一点，且
，
．

（1）求
的长；

（2）求二面角
的正弦值．

18．（本题12分）

是否存在同时满足下列两条件的直线
：（1）
与抛物线
有两个不同的交点和；（2）线段
被直线
垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线
的方程．

19．（本题12分）

已知椭圆

（1）求椭圆
的离心率；

（2）设
为原点，若点在直线
上，点在椭圆
上，且
求线段
长度的最小值．

20．（本题13分）
是双曲线：
上一点，
，
分别是双曲线的左、右顶点，直线
，
的斜率之积为
．

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，
为坐标原点，
为双曲线上一点，满足
，求
的值．

21．（本题14分）如图，为坐标原点，椭圆
的左右焦点分别为
，离心率为
；双曲线
的左右焦点分别为
，离心率为
，已知
，且
．

（1）求
的方程；

（2）过
作
的不垂直于轴的弦
,
为
的中点，当直线
与
交于
两点时，求四边形
面积的最小值．

2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试

数学理试题参考答案

1-10DDDDB AABAC

11．2

12．

13．2

14．

15．

解析：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。

直线
的方程为：
；

直线
的方程为：
。二者联立解得：
，

则
在椭圆
上，

，

解得：

三、解答题：本大题共6小题, 共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：命题P函数y＝loga（1－2x）在定义域上单调递增；

∴0

又∵命题Q不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对任意实数x恒成立；

∴a＝2或

即－2

∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2

17．

解：（Ⅰ）连接AC，BD，

∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，

故AC∩BD=O，且AC⊥BD，

以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，

∵AB=2，∠BAD=
，

∴OA=AB?cos（
∠BAD）=
，OB=AB?sin（
∠BAD）=1，

∴O（0，0，0），A（
，0，0），B（0，1，0），C（﹣
，0，0），

=（0，1，0），
=（﹣
，﹣1，0），

又∵BM=
，

∴
=

=（﹣
，﹣
，0），

则
=
+
=（﹣
，
，0），

设P（0，0，a），则
=（﹣
，0，a），
=（
，﹣
，a），

∵MP⊥AP，

∴
?
=
﹣a2=0，

解得a=
，

即PO的长为
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=（﹣
，0，
），
=（
，﹣
，
），
=（
，0，
），

设平面APM的法向量
=（x，y，z），平面PMC的法向量为
=（a，b，c），

由
，得
，

令x=1，则
=（1，
，2），

由
，得
，

令a=1，则
=（1，﹣
，﹣2），

∵平面APM的法向量
和平面PMC的法向量
夹角θ满足：

cosθ=
=﹣

故sinθ=
=

18．（本题12分）

【解析】假定在抛物线
上存在这样的两点

∵线段AB被直线
：x+5y-5=0垂直平分，且

．

设线段AB的中点为
．代入x+5y-5=0得x=1．于是：

AB中点为
．故存在符合题设条件的直线，其方程为：

19．（本题12分）

解：（1）由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．

因此a＝2，c＝．故椭圆C的离心率e＝＝．

（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．

因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．

又x＋2y＝4，所以|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝＋（y0－2）2＝x＋y＋＋4

＝x＋＋＋4＝＋＋4　（0＜x≤4）．

因为＋≥4（0＜x≤4），当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．

20．

【解析】（1）点
是双曲线：
上，有

，由题意又有
，可得
，

则

（2）联立
，得
，设
，

则
，设
，
，即

又
为双曲线上一点，即
，有

化简得：

又
，
在双曲线上，所以
，

由（1）式又有

得：
，解出
，或

21．

【解析】（Ⅰ）因为
所以
即
，因此

从而
，于是
，所以
，

故椭圆
方程为
,双曲线
的方程为
．

（Ⅱ）因为直线
不垂直于轴且过点
，故可设直线
的方程为
．

由
得

易知此方程的判别式大于0．设
，则
是上述方程的两个实根，所以

因此
，
的中点为
，故

直线
的斜率为
，
的方程为
，即
．

由
得
，所以
从而

设点到直线
的距离为，则点到直线
的距离也为，所以

因为点
在直线
的异侧，所以
，于是

,

从而

又因为
，所以

四边形
面积

而
，故当
时，取得最小值2