漳浦县中学2014-2015学年第一学期期末考试高 二 (文科)数学

考生注意：

1． 本试卷满分共150分，考试时间为120分钟。

2． 答题前，考生先将自己的姓名、座位号填写在试题答题纸上

3． 考生作答时，将答案答在试题答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、椭圆 的离心率为

A． B． C． D．

2、抛物线y2＝2x的焦点到准线的距离是

A．2　　　 B． C．1 D．

3、为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学

生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33

号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是

A．13　　　　 B．19 C．20 D．51

4、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么

A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

5、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗 （吨标

准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出 关于 的线性回归方程

，则表中 的值为

A．3 B．3.15 C．4 D． 4.5

6、若如下框图所给的程序运行结果为S＝20，

那么判断框中应填入的关于k的条件是

A．k＝9? B．k≤8?

C．k＜8? D．k＞8?

7、函数 的单调递增区间是

A．[0，＋∞） B．[1，＋∞） C．（－∞，0] D．（－∞，1]

8、设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为 ；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线

对称．则下列判断正确的是

A．p为真 B．q为真 C．p∧q为假 D．p∨q为真

9、已知二次函数的图象如右图所示，则其导函数 的图象大致形状是

10、已知动点 的坐标满足方程 ，则 的轨迹方

程是

A． B． C． D．

11、已知 是抛物线 上的一个动点， 到直线 的距离是 ， 到直线

的距离是 ，则 的最小值是

A．0 B． C． D． 不存在

12、若 ，其中 ， ， ， ,

， ， ， ， ， . 现从 中随机取两个数分别

作为点 的横、纵坐标，则点 落在椭圆 内的概率是

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．

13、点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率_______.

14、对于三次函数 定义：设 是函数 的

导数，若方程 =0有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”。有

同学发现任何三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对

称中心。请你根据这一发现，求函数 对称中心为 _______．

15、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分

布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为 ________ .

16、在R上可导的函数 f(x) 的图像如图所示，则关于 x 的不等式x·f′(x)<0的解集为______.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题12分）

已知：双曲线中心在原点，焦点在x轴上，其离心率为2；且过点

（Ⅰ）求双曲线标准方程；

（Ⅱ）求双曲线的右焦点F到渐近线的距离。

18、（本小题12分）

设命题 p： x0∈R，x20＋2ax0－a＝0.

命题 q： x∈R，2x2－4x＋a≥0.

（Ⅰ）如果 p 是真命题，求实数 a 的取值范围；

（Ⅱ）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数 a 的取值范围．

19、（本小题12分）

某电视台2014年举办了“中国好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的30名选手被平均分成甲、乙两个班。下面是根据这30名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的30名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。

（Ⅰ）求出甲班的大众评审的支持票数的中位数、众数；

（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．

20、（本小题12分）

已知函数 f ( x )＝ －x3＋3x.

（Ⅰ）求函数 f ( x )的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 x ∈[－2，3]时，求 f ( x )的最值．

21、（本小题12分）

已知椭圆 ， 、 是其左右焦点且 （－ ，0）， 是椭圆

上一点，△ 的周长是 .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）试对 讨论直线 与该椭圆的公共点的个数.

22、（本小题14分）

已知函数 f ( x )＝ x －alnx ( a∈R)．

（Ⅰ）当 a ＝2时，求曲线 y ＝ f ( x )在点 A (1，f (1))处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 f ( x )的极值．

漳浦县中学2014～2015学年第一学期期末考试参考答案

高二（文科）数学

选择题：

DCCBA DACCC CA

填空题：

13
14 （ 1，2） 15 70. 16 (－∞，－1)∪(0，1)．

三、解答题：

17 (Ⅰ)设双曲线的标准方程为
（
）．

依题得
．解得

双曲线的标准方程为
------------7分

（Ⅱ） 由(Ⅰ)可得右焦点（4，0）

双曲线的渐近线方程为
------------10分

双曲线右焦点到渐近线距离为
-------12分

18解：(Ⅰ)当p为真时，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，-----3分

a的取值范围为
---------------4分

（Ⅱ）当q为真时，2x2－4x＋a≥0恒成立

∴
即a≥2 ---------------7分

由题意得，命题p与q一真一假．

当命题p为真，命题q为假时，得
---------------10分

当命题p为假，命题q为真时，得a∈?.

∴实数a的取值范围为
．---------------12分

19解：(Ⅰ)甲班中位数为77，--------2分

众数为81和72。-------4分

（Ⅱ）共有5名选手进入决赛，其中有两名拥有“优先挑战权”

对5名选手编号为1，2，3，4，5，其中1，2号拥有“优先挑战权”--------6分

所有的基本事件为（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4）（1，3，5）（1，4，5）

（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）共有10种

符合题意的基本事件有：（1，3，4）（1，3，5）（1，4，5）

（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）共6种----------------------------------------10分

所以随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率为P=
．---12分

20解(Ⅰ)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)-----------------(2分)

列表如下：

x

(－∞，－1)

－1

(－1，1)

1

(1，＋∞)



f′(x)

－

0

＋

0

－



f(x)

递减

极小值

递增

极大值

递减



∴f(x)的递减区间有：(－∞，－1)，(1，＋∞)，递增区间是(－1，1)；----6分

（Ⅱ）由(1)知，f(x)在[－2，－1]上递减，在(－1，1)上递增，[－1，3] 递减-----8分

∴f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.----------------------------(10分)

又

∴函数在[－2，3]上的最大值为2，最小值为－18.-----------------12分

21解(Ⅰ)设由题可得
，据题意则有

，∴

故椭圆的方程是
.…………5分

（Ⅱ）联立的方程组
，整理得：

其判别式
.…………8分

当
即
或
时，直线与椭圆无公共点；

当
即
时，直线与椭圆恰有一个公共点；

当
即
时，直线与椭圆恰有两个不同公共点. …………12分

22解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，-------1分

f′(x)＝1－.----------------------------------2分

(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，

f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，-------------4分

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.------------------6分

(Ⅱ)由f′(x)＝1－＝，x>0知：----------8分

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；---------------10分

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．------------------12分

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.--14分