命题：汤儒兴 审核：杨秀涓

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)

A．2 B．2 C．4 D．4

2．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　)

A．12 B．14 C．16 D．18

3．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是(　　)

A．ad>bc B．ac>bd

C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d

4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是　　(　　)

A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3

5．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　)

A．2 B．12 C．2 D．28

6.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　)

A. B. C. D.

7．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3

8.．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)

A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2

9．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)

A．α∥β B．α⊥β

C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确

10如图，P是双曲线
上的动点，
、
是双曲线的左右焦点，
是
的平分线上一点，且
某同学用以下方法研究
：延长
交
于点
，可知
为

等腰三角形，且M为
的中点，得
类似地：P是椭圆
上的动点，
、
是椭圆的左右焦点，M是
的平分线上一点，且
，则
的取值范围是( )

A.
B
C
D

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分

11．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．

12．不等式4x2－mx＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．

13．抛物线y＝2x2的焦点坐标为________．

14．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.

15．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

16(本小题满分13分)

已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

17(本小题满分13分).等差数列
中，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
．

18(本小题满分13分)

已知

求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；

(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；

(3)z＝的范围．

19(本小题满分13分)

.某海域内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50°且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50°＋θ其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且与A相距60海里的位置C.

(1)求该船的行驶速度；

(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离．

20(本小题满分14分)

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A- CP D1的体积为
。

（1）求CP的长；

（2）求直线AD与平面APD1所成的角
的正弦值；

（3）请直接写出正方体的棱上满足C1M∥平面APD1的所有点M的位置，并任选其中的一点予以证明。

21(本小题满分14分)

已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
,短轴长为4
.

(I)求椭圆C的标准方程;

(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为
.

①求四边形APBQ面积的最大值;

②设直线PA的斜率为
,直线PB的斜率为
,判断
+
的值是否为常数,并说明理由.

长泰一中2014-2015学年度上学期高二期末考试试题（数学理）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

D

D

A

A

A

A

C

C

D





三、解答题：本大题共6小题，共80分．

16(本小题满分13分)

解　由“p且q”是真命题，

则p为真命题，q也为真命题． [3分]

若p为真命题，a≤x2恒成立，

∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]

若q为真命题，

即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

Δ＝4a2－4(2－a)≥0，

即a≥1或a≤－2， [10分]

综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [13分]

18(本小题满分13分)

作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．

(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，

将点C(7,9)代入z得最大值为21. ..................(4分)

(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，

故z的最小值是|MN|2＝.(8分)

(3)z＝2×表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，

因此kQA＝，kQB＝，

故z的范围为.(13分)

20(本小题满分14分）



(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q的坐标为
,
,则
,

设A
B(
),直线AB的方程为
,代人

得:
.

由△>0,解得
,由根与系数的关系得

四边形APBQ的面积

故当
②由题意知,直线PA的斜率
,直线PB的斜率

则

=

=
,由①知

可得

所以
的值为常数0