茶陵县第三中学2016-2017学年度下学年高二数学开学检测试题

时间:120分钟 总分:150分

(教师版)

选择题(总计50分)

一.单项选择题(本大题10个选项 各小题5分 本大题50分)

1.如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为(　　)

A .
　　 B.3 C.
D.
　　

1.令AB=3a(a>0),因为CM·MD=AM·MB,即2×4=2a2,所以a=2.又因为CN·NE=AN·NB,即3NE=4×2,所以NE=
,故选A.

2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(　　)

A.2 B.1 C.0 D.-1

2.执行程序:i=1,S=0;S=cos
=0,i=2;S=0+cos π=-1,i=3;S=-1+cos
=-1,i=4;S=-1+cos
=0,i=5;S=0+cos
=0,i=6,满足i>5,退出循环,输出的结果为0,故选C.

3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(　　)

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+
=0或2x+y-
=0

C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+
=0或2x-y-
=0

3.切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得
=
,解得c=±5.故选A.

4.如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为α,则　(　　)

A.∠A'DB≤α　　B.∠A'DB≥α　　C.∠A'CB≤α　　D.∠A'CB≥α　　

4.若CD⊥AB,则∠A'DB为二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'DB=α.

若CD与AB不垂直,在△ABC中,过A作CD的垂线交线段CD或CD的延长线于点O,交BC于E,连结A'O,则∠A'OE为二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'OE=α,∵AO=A'O,∴∠A'AO=
.又A'D=AD,∴∠A'AD=
∠A'DB.而∠A'AO是直线A'A与平面ABC所成的角,由线面角的性质知∠A'AO<∠A'AD,则有α<∠A'DB.综上有∠A'DB≥α,故选B.

5.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则
的取值范围为(　　)

A.(1,+∞)　　B.(0,2)　　C.(1,3)　　D.(0,3)　　

5.由已知及三角形三边关系得

∴
∴
两式相加得,0<2×
<4,∴
的取值范围为(0,2),故选B.

6.设四边形ABCD为平行四边形,|
|=6,|
|=4.若点M,N满足
=3
,
=2
,则
·
=(　　)

A.20 B.15 C.9 D.6

6.依题意有
=
+
=
+
,
=
+
=
-
=
-
,所以
·
=
·
=
-
=9.故选C.

7.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足
=2a,
=2a+b,则下列结论正确的是(　　)

A.|b|=1 B.a⊥b

C.a·b=1 D.(4a+b)⊥

7.∵b=
-
=
,∴|b|=|
|=2,故A错;∵
·
=2×2×cos 60°=2,即-2a·b=2,∴a·b=-1,故B、C都错;∵(4a+b)·
=(4a+b)·b=4a·b+b2=-4+4=0,∴(4a+b)⊥
,故选D.

8.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|
+
+
|的最大值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

8.解法一:由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径.

故
+
=2
=(-4,0)(O为坐标原点).

设B(cos α,sin α),∴
=(cos α-2,sin α),

∴
+
+
=(cos α-6,sin α),|
+
+
|=
=
≤
=7,当且仅当cos α=-1时取等号,此时B(-1,0),故|
+
+
|的最大值为7.故选B.

解法二:同解法一得
+
=2
(O为坐标原点),又
=
+
,∴|
+
+
|=|3
+
|≤3|
|+|
|=3×2+1=7,当且仅当
与
同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|
+
+
|max=7.故选B.

9.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)

A.-
　　B.
　　C.-
　　D.
　　

9.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=
,故选D.

10.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1) =0},则M∩N=(　　)

A.{1,4}　　B.{-1,-4}　　C.{0}　　D.?　　

10.化简集合得M={-4,-1},N={1,4},

显然M∩N=?,故选D.

非选择题(总计100分)

二.填空题(本大题20分各小题5分)

11.在极坐标系中,点
到直线ρ(cos θ+
sin θ)=6的距离为________.

11.由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点
对应的直角坐标为(1,
),直线ρ(cos θ+
sin θ)=6对应的直角坐标方程为x+
y=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离为
=1.

12.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.

12.由已知得,所求平均数为
=6.

13.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为________.

13.如图,建立空间直角坐标系A-xyz,

设AB=2,QM=m(0≤m≤2),

则F(2,1,0),E(1,0,0),M(0,m,2)(0≤m≤2).

=(2,1,0),
=(1,-m,-2),

cos θ=|cos<
,
>|=
=
=
.

设y=
,

则y'=

=

=
.

当0

∴y=
在(0,2)上单调递减.

∴当m=0时,y取最大值,

此时cos θ取最大值,(cos θ)max=
=
.

14.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

14.依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.

∴∠ACB=45°,

在△ABC中,由
=
,

得
=
,有CB=300
,

在Rt△BCD中,CD=CB·tan 30°=100
,

则此山的高度CD=100
m.

三.解答题(本大题80分15 16 17 18小题10分19小题14分20小题16分)

15.某工厂36名工人的年龄数据如下表.

工人编号

年龄

工人编号

年龄

工人编号

年龄

工人编号

年龄



1

40

10

36

19

27

28

34



2

44

11

31

20

43

29

39



3

40

12

38

21

41

30

43



4

41

13

39

22

37

31

38



5

33

14

43

23

34

32

42



6

40

15

45

24

42

33

53



7

45

16

39

25

37

34

37



8

42

17

38

26

44

35

49



9

43

18

36

27

42

36

39



(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;

(2)计算(1)中样本的均值
和方差s2;

(3)36名工人中年龄在
-s与
+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?

15.(1)由系统抽样,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.

因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.

(2)均值

=
=40;

方差s2=
×=
.

(3)由(2)可知s=
.由题意,年龄在
内的工人共有23人,所占的百分比为
×100%≈63.89%.

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=
,PA=AD=2,AB=BC=1.

(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

16.以{
,
,
}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

(1)易知AD⊥平面PAB,所以
是平面PAB的一个法向量,
=(0,2,0).

因为
=(1,1,-2),
=(0,2,-2),

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

则m·
=0,m·
=0,

即

令y=1,解得z=1,x=1.

所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.

从而cos<
,m>=
=
,

所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为
.

(2)因为
=(-1,0,2),

设
=λ
=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),

又
=(0,-1,0),

则
=
+
=(-λ,-1,2λ),

又
=(0,-2,2),

从而cos<
,
>=
=
.

设1+2λ=t,t∈,

则cos2 <
,
>=
=
≤
.

当且仅当t=
,即λ=
时,

|cos<
,
>|的最大值为
.

因为y=cos x在
上是减函数,所以此时直线CQ与DP所成的角取得最小值.

又因为BP=
=
,

所以BQ=
BP=
.

17. 已知函数f(x)=sin
.

(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)若α是第二象限角, f
=
cos
cos 2α,求cos α-sin α的值.

17.(Ⅰ)因为函数y=sin x的单调递增区间为
,k∈Z.

由-
+2kπ≤3x+
≤
+2kπ,k∈Z,得

-
+
≤x≤
+
,k∈Z.

所以,函数f(x)的单调递增区间为
,k∈Z.

(Ⅱ)由已知,有sin
=
cos
(cos2α-sin2α),

所以sin αcos
+cos αsin

=
(cos2α-sin2α).

即sin α+cos α=
(cos α-sin α)2(sin α+cos α).

当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=
+2kπ,k∈Z.

此时,cos α-sin α=-
.

当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=
.

由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-
.

综上所述,cos α-sin α=-
或-
.

18.已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点
和点
.

(Ⅰ)求m,n的值;

(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.

18.(Ⅰ)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.

因为y=f(x)的图象经过点
和
,

所以

即

解得m=
,n=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
sin 2x+cos 2x=2sin
.

由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin
.

设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),

由题意知
+1=1,所以x0=0,

即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).

将其代入y=g(x)得sin
=1,

因为0<φ<π,所以φ=
.

因此g(x)=2sin
=2cos 2x.

由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-
≤x≤kπ,k∈Z,

所以函数y=g(x)的单调递增区间为
,k∈Z.

19.已知向量
，
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）在
中,
分别是角
的对边,
,
,

若
，求
的大小.

19.（Ⅰ）

，

所以
递减区间是
. （5分）

（Ⅱ）由
和
得:
,

若
，而

又
, 所以

因为
，所以

若
，同理可得：
，显然不符合题意，舍去. （9分）

所以
，

由正弦定理得:
.?? （12分）

20.（2013福建，21（3）, 7分）设不等式|x-2|< a(a∈N*) 的解集为A, 且∈A, ?A.

(Ⅰ) 求a的值;

(Ⅱ) 求函数f(x) =|x+a|+|x-2|的最小值.

20.(Ⅰ) 因为∈A, 且?A, 所以
< a, 且
≥a,

解得< a≤. 又因为a∈N*, 所以a=1.

(Ⅱ) 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1) -(x-2) |=3,

当且仅当(x+1) (x-2) ≤0, 即-1≤x≤2时取到等号, 所以f(x) 的最小值为3.

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