定州中学2016一2017学年第一学期高二承智班开学考试

数学试题

一、选择题：共12题 每题5分 共60分

1．若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为
,当其外接球的体积最小时, 它的高为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知三个平面
，若
，
与
相交但不垂直，
分别为
内的直线，则下列结论正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

4．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是
的圆，则这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.

其中正确的结论是（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

7．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．如图，三棱锥
的棱长都相等，
是棱
的中点，则直线
与直线
所成角的余弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：共4题 每题5分 共20分

13．已知点
，
，点
是圆

上的动点，则
面积的最大值与最小值之差为 ．

14．.已知在直角梯形
中，
，将直角梯形
沿
折叠成三棱锥
，当三棱锥
的体积取最大值时，其外接球的体积为______.

15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是 .

16．在三棱柱
中侧棱垂直于底面，
，
，
，且三棱柱
的体积为3，则三棱柱
的外接球的表面积为 ．

三、解答题：共8题 共70分

17．如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，
是
上的点．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）若
是
的中点，且二面角
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

19．如图，三棱锥
中，
平面
.

（1）求证：
平面
；

（2）若
于点
于点
，求四棱锥
的体积.

20．选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形
中，
于
，
交
于
，且
.

（1）求证：
、
、
、
四点共圆；

（2）若
，求四边形
的面积.

21．已知
中，
，将
沿
折起，使
变到
，使平面
平面
．

（1）试在线段
上确定一点
，使
平面
；

（2）试求三棱锥
的外接球的半径与三棱锥
的表面积．

22．如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，
是
的中点.

（Ⅰ）证明：
//平面
；

（Ⅱ）设
，三棱锥
的体积
，求
到平面
的距离.

23．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，


．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
，求k的值．

24．已知直线
和
.

（1）若
，求实数
的值；

（2）若
，求实数
的值.

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：设四棱锥底面正方形边长为
，四棱锥高为
，外接球半径为
，则
，所以
，因为
，所以
时
取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A.

考点：导数实际应用

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

2．C

【解析】

试题分析：几何体为一个三棱锥，一条长为4侧棱垂直底面，底面为直角三角形，直角边分别为3和4；三个侧面皆为直角三角形，因此表面积为
，选C.

考点：三视图

【名师点睛】

1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．

2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．

3．B

【解析】

试题分析：很容易运用反例验证答案A, C, D都是不正确的,故应选答案B.

考点：空间直线与平面的位置关系．

4．C

【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为一个球体的
，缺口部分为挖去的
．∵球的半径
，∴
，故选：C．

考点：由三视图求面积，体积．

5．D

【解析】

试题分析：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为
，又由侧视图知几何体的高为
，底面圆的半径为
，∴几何体的体积
．故答案为：D.

考点：由三视图求面积，体积.

6．C

【解析】

试题分析：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：C．

考点：类比推理.

7．A

【解析】

试题分析：连接
，则由已知得
，可知三棱锥
是棱长为
的正四面体，其高为
，则三棱锥
的高为
，所以三棱锥
的体积为
．

考点：三棱锥外接球．

8．C

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥与三棱柱的组合体，且三棱锥体积为
，三棱柱体积为
，故所求体积为
．

考点：三视图．

9．B

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积

.

考点：三视图．

10．A

【解析】

试题分析：设圆锥的母线和底面半径长分别为

，故选A.

考点：圆锥的侧面积和体积公式.

11．C

【解析】

试题分析：取
中点
，连接
，则直线
与直线
所成角为
,设四棱锥棱长为

，故选C.

考点：异面直线所成的角.

【易错点睛】本题主要考查了异面直线所成角．异面直线所成角的求解技巧求异面直线所成的角采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．异面直线所成角一般以选择填空题出现.

12．B

【解析】

试题分析：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，

即
，所以
，所以求得表面积为
．

故选B.

考点：几何体的外接球.

13．

【解析】

试题分析：由于底边AB为定值，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，
面积取最大值与最小值，因此
面积的最大值与最小值之差为

考点：直线与圆位置关系

14．

【解析】

试题分析：当三棱锥
的体积最大时，即点
到底面
的距离最大时，此时平面

平面
,取
中点
,
中点
,连接
,
,
,所以
,而
,所以点
是其外接球的球心，所以
,故填：
.

考点：球与几何体

【方法点睛】本题考查了球与几何体的位置关系的题型，属于中档题型，这类型的习题，关键是球心的位置，球心到各个顶点的距离相等，首先找三角形
外接球的球心，其有可能是外接球的球心，那就要证明到第四个点的距离是否相等，如果不相等，那就在过
外接球的球心与底面垂直的直线上，这样就比较好找到球心，只要有球心，半径就比较容易了.

15．

【解析】

试题分析：从三视图可以看出该几何体是一个直三棱柱,底面是一个等腰三角形,容易计算该三角形是等腰直角三角形.该三角形外接圆的半径为
,正三棱柱的外接球的球心到底面的距离是
,故球的半径
,该外接球的表面积
.

考点：三视图的识读和几何体的外接球的面积的计算．

【易错点晴】几何体的三视图是从正面、侧面、上面三个方向对一个几何体的全方位透视,因此解答这类问题的关键是根据三视图所提供的图形信息弄清楚该几何体的形状和有关数据,然后再选择运用相应的体积或面积公式进行求解.通过三视图提供的信息可以推断该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱柱.然后再利用题设条件求出其外接球的半径为
.最后球的面积公式求出其面积为
.

16．