高二下第一次月考数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1.已知
，若
，则
的值等于（ ）

A.4 B.－4 C.5 D.－5

2.曲线
在点
处的切线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是（ ）

A.平行四边形的对角线相等 B.正方形的对角线相等

C.正方形是平行四边形 D.以上都不是

4.欧拉公式
(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，
被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数
的虚部为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.某个自然数有关的命题，如果当
时，该命题不成立，那么可推得
时，该命题不成立.现已知当
时，该命题成立，那么，可推得（ ）

A.
时，该命题成立 B.
时，该命题成立

C.
时，该命题不成立 D.
时，该命题不成立

6.一个几何体的三视图如题(6)图所示，

则该几何体的侧面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.若函数
有一个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 曲线
与直线y=
围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B.
C.
D.

9.函数
的图象可能是（ ）

A B C D

10．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数.

（1）

（2）

（3）

（4）

则这个常数为（ ）

A.
B. 1 C.
D. 0

11.已知椭圆
的右焦点为
是椭圆上一点，点
，当
的周长最大时，
的面积等于（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
,若对任意
，
，则（ ）A.
B .
C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.若复数
满足
，则

14.用长为18
的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积为_________
.

15.已知等差数列
，若
，则数列
也是等差数列，类比上述结论，可得：已知等比数列
，若
，则数列
也是等比数列；

已知等差数列
，若
，则数列
也是等差数列，类比上述结论，可得：已知等比数列
，若
，则数列
也是等比数列.

16．已知偶函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，当
时有
，则不等式
的解集为 .

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

函数
在
处的切线方程为

（1）求
的解析式；

（2）求
的极值．

18．（本小题满分12分）

在数列{an}中，a1=1，

（1）求
的值；

（2）猜想这个数列的通项公式并用数学归纳法证明.

19.（本小题满分12分）

如题(19)图，直四棱柱
中，

∥
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求二面角
的大小．

20.（本小题满分12分）

设函数
，其中
．

（1）若
在其定义域内是单调函数，求
的取值范围；

（2）若
在
内存在极值点，求
的取值范围.

21.(本小题满分12分)

从抛物线
：
外一点
作该抛物线的两条切线
（切点分别为
），分别与
轴相交于
，若
与
轴相交于点
，点
在抛物线
上，且
（
为抛物线的焦点）.

（1）求抛物线
的方程；

（2）求证：四边形
是平行四边形.

22.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若
，讨论
在
上的单调性；

（2）设
，比较
与
的大小，并加以证明．

月考题参考答案

1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 11.B 12.A

13.
14. 3 15.
16.

17．（1）因为

易知
…………………………5分

（2）
，令
……6分

列表











 负



正





单调递减

极小值

单调递增



………………………………………………………………………………9分

所以
的极小值为
，无极大值.………………………10分

18.（1）
………………………………4分

（2）猜想：
……………………………………………………6分

证明如下：当n=1时，a1=1，
，猜想成立.………………7分

假设n=k
时，
成立，……………………8分

那么，当n=k+1时，
……11分

∴当n=k+1时，猜想成立.

综上，由数学归纳法可知，
对一切正整数成立.………………12分

19． （1）以点
为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：

设
,则

………2分

（1）

平面

平面
平面
;………………5分

（2）

设平面
与平面
的法向量分别为：
则

，令
则
…………7分

，令
则
……………9分

，………………………………………………11分

二面角
的大小为
…………………………………………………12分

20． （1）
……………………1分

当
时，
，符合题意；…………2分

当
时，

若
在
上单调递增，则
恒成立
恒成立

即
；………………5分

若
在
上单调递减，则
恒成立
恒成立
……6分

……………………………………7分

（2）要使
在
内存在极值，由（1）知首先有
或
，另外还需要方程
的根在
内，由于对称轴

只需
…………10分

所以
．……………………12分

21. 解：（1）因为
所以
，即抛物线
的方程是
……4分

（2）由
得
，
………………5分设
，

则直线
的方程为
， ①…………………………………………6分

则直线
的方程为
，②…………………………………………7分

由①和②解得：
，所以
……………………8分

设点
，则直线
的方程为

由
得
则
…………………9分

所以
，所以线段
的中点为

在①中，令
解得
，所以
，同理得
，所以线段
的中点

坐标为
，即
……………………………………………………10分

即线段
与线段
互相平分…………………………………………………………11分

因此，四边形
是平行四边形…………………………………………………12分

22.解： （1）由题设，
．………… 2分

当
，即
时，则
的增区间为
；……4分

当
，即
时，

有
时，

的减区间为
；

有
时，

的增区间为
；．……6分

综上可知，当
时，
在
上是增函数；当
时，
在
上是减函数，在
上是增函数．

（2）
，………………………………7分

证明如下：

方法一：上述不等式等价于＋＋…＋，x>0.

令

…9分 令x＝，n∈N＋，则ln> 即：

故有ln 2－ln 1>，ln 3－ln 2>，……，ln(n＋1)－lnn>，

上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，结论得证．………………12分

方法二：令x＝，n∈N＋，同方法一有

当