2015-2016学年温州市十校联合体高二下学期期中联考

数学试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分120分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

选择题： 本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)

A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i

2．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知＝a，

＝b，＝c，则用向量a，b，c可表示向量等于(　　)

A．a＋b＋c B．a－b＋c

C．a＋b－c D．－a＋b＋c

3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)

A．
B．
C．
D．

4．设
则
（ ）

A．都小于
B．都大于

C．至少有一个不小于
D．至少有一个不大于

设
是函数
的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标

系中，不可能正确的是 (　　)

已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的

正弦值等于(　　)

A. B. C. D.

7．设函数f (x)＝x3－4x－a，0＜a＜2．若f (x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则 (　　)

A．x1＜－2 B．x2＞0 C．x3＜1 D．x3＞2

8．如图四边形
，
,
.现将
沿
折起，

当二面角
的大小处于
变化过程中，直线
与
所成角的余弦

值取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

二．填空题： 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9. 已知向量
，
，若
，则
________，若
∥
，

则
________。

10．已知
是虚数单位, 若复数
，
，则
＝_________，
在复平面内所对应的点位于第___________象限。

11．已知
是不相等的正数，
，则
的大小关系是______。

12. 已知函数
,则
＝_________,曲线
在点
处的

切线倾斜角是_________。

已知函数
，则
的极大值为____________，若
在[t，t＋1]上

不单调，则t的取值范围是___________。

14．设点O为四面体ABCD外接球的球心，若|
|＝3，|
|＝4，则
＝_________。

15．设定义域为
的单调函数
，对任意的
，都有

，若
是方程
的一个解，且

，则
___________。

三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。

16．（本小题满分10分）

（Ⅰ）已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；

（Ⅱ）关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

17．（本小题满分10分）已知函数
．

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在
上的最大值和最小值．

18．（本小题满分10分）当n≥2，n∈N*时，设f(n)=…·.

（Ⅰ）求f(2)、f(3)、f(4)的值；

（Ⅱ）猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。

19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．

（Ⅰ）求证：直线A1B∥平面ADC1；

（Ⅱ）求二面角C1－AD－C的余弦值；

（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使直线AE与DC1成60°角？

若存在，确定E点位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分10分）已知函数
.

（Ⅰ）当
时，讨论f (x)的单调性；

（Ⅱ）若实数a满足
，且函数g(x)＝4x3＋3（b+4）x2+6(b＋2)x (b∈R) 的极小

值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极小值小于等于0．

2015学年第二学期十校联合体高二期中联考

答案及评分标准

一．选择题（每小题4分，共32分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

D

C

D

A

D

D



二．填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

9．10 ，－4 10．
， Ⅰ 11．

12．
,

13 .
，
14．
15．1

三．解答题（共52分）

16. （本小题满分10分）

解　（Ⅰ）∵x2－y2＋2xyi＝2i，

∴-------------2分

解得或--------------------------------------------------5分

（Ⅱ）设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为

3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

∴--------------------------------------------------7分

解得a＝11或a＝－. --------------------------------------------------10分

17.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）
-------------------------------------------------------------2分

，
------------------------------------------------------------3分

所以切线方程为：
----------------4分

（Ⅱ）

所以
时，函数单调递增；
时，函数单调递减--------------6分

所以
--------------------------------------------------------------------7分

-------------------------------------------------9分

因为
，所以
----------------------------------10分

18. （本小题满分10分）

（Ⅰ）
------------------------------------------------1分

------------------------------------------------2分

-------------------------------------------------3分

（Ⅱ）猜想
-----------------------------------------------5分

证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．------6分

(2)假设当n＝k(n≥2， n∈N*)时等式成立，

即…＝，-----------------------------------------------------7分

那么当n＝k＋1时，

…＝·＝＝

＝.

∴当n＝k＋1时，等式也成立．-----------------------------------------------------------------------9分

根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．--------------------------------------- 10分

19. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.

由ABC－A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又D为BC的中点，所以OD为△A1BC的中位线，

所以A1B∥OD.

因为OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1.-------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）解:由ABC－A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，得BA，BC，BB1两两垂直．

以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.

设BA＝2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，

所以＝(1，－2,0)，1＝(2，－2,1)．

设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有

所以取y＝1，得n＝(2,1，－2)．

易知平面ADC的一个法向量为v＝(0,0,1)．

所以cos〈n，v〉＝＝－.

因为二面角C1－AD－C是锐二面角，

所以二面角C1－AD－C的余弦值为.----------------------------------------------------8分

（Ⅲ）解: 假设存在满足条件的点E.

因为点E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2.

所以＝(0，λ－2,1)，1＝(1,0,1)．

因为AE与DC1成60°角，

所以|cos〈，1〉|＝＝，

即＝，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．

所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60°角．----------------------------------12分

20．（本小题满分10分）

（Ⅰ）

-----------------------------------------------------------2分

由
，得
，或

⑴当
时，
，
在
上为增函数；------------- 3分

⑵当
时，
在
上为减函数；
在
、
上为增

函数；----------------------------------------------------------------------------------------------------4分

⑶当
时，
在
上为减函数；
在
、
上为增

函数；----------------------------------------------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）∵
，∴
，

又
，

∴
，从而
的极小值点也是

又
-----------------------------------8分

因为
，

故
的极小值
，

即g(x)的极小值小于等于0．-----------------------------------------------------------------------10分

2015学年第二学期十校联合体高二期中联考数学试卷细目表

题号

考查点

参考《指导意见》、《会考标准》、《考纲》

分值

考查要求

A了解 B理解

C应用 D综合

试题难度

I容易

II稍难

III较难

题目来源

（原创或改编）