2016年春季福建省南安市侨光中学高二年期末考试

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数
，则
的值等于（ ）

A.
B.
C.
D.

2．双曲线
的焦距是（ ）

A．
B.2 C.6 D.9

3.二项式
的展开式中
项的系数为56，则
（ ）

A．10 B．8 C．6 D．5

4.下面使用类比推理，得到的结论正确的是（ ）

A.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.

类比推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.

B.直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.

类比推出:向量
，若
，则
.

C.以点
为圆心,
为半径的圆的方程为
.

类比推出:以点
为球心,
为半径的球面的方程为
.

D.实数
,若方程
有实数根,则
.

类比推出:复数
,若方程
有实数根,则
.

一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为
，则

此射手的命中率是( )

A、
B、
C、
D、

6.对具有线性相关关系的变量
有一组观测数据
，其回归直线方程是
，且
，则实数
值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.从6名女生中选4人参加4
100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，他们的接力顺序就不能相邻，不同的排法种数为( ) .

A.264 B. 228 C. 192 D.144

8.由直线
，
，
与曲线
所围成图形的面积为（　　）

A．0 B．
1
C．2 D．4

9.已知抛物线
的焦点为
，点
在
上.若
，则点
到直线
的距离等于( )

　 A.
　　　　B.
　　　　C.3　　　　D.4

10.为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆
的条件下，场馆
有两名志愿者的概率为( ) A.
B.
C.
D.

11.已知甲盒中仅有1球且为红球，乙盒中有
个红球和
个蓝球（

），从乙盒中随机抽取
个球放入甲盒中．

（a）放入
个球后,甲盒中含有红球的个数记为
；

（b）放入
个球后,从甲盒中取1球是红球的概率记为
．

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

12.已知函数
是定义在
上的减函数，其导函数
满足
，则下列结论正确的是( )

A．当且仅当
，
B．对任意
，

C．当且仅当
，
D．对任意
，

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.已知随机变量
，且
，则
________.

14.已知随机变量
的取值为0,1,2，若
，
，则
________．

15.若
，且
，则
________.

16.已知实数
满足
（
是自然对数的底数）, 则
的最小值为 .

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）在直角坐标系
中，圆
的方程
．以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求
的极坐标方程；（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
．记射线
：
与
分别交于点
，
，与
交于点
，求
的长．18.（本小题满分10分）已知函数
，
．若
在
处与直线
相切．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
在
上的最小值．

19.（本小题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，

因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，

为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社

为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整

理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65)

[65，75]



频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

6

9

6

3

4



（Ⅰ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱
中，
、
分别是
,

的中点，
.

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值.

21.（本题满分12分）

已知椭圆

经过点
，离心率为
，过点
作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆
交于异于
的另外两点
、
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）证明：直线
的斜率为定值，并求这个定值．

22.（本题满分14分）设函数

（Ⅰ）当
时，
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅱ）求证：当
时，
.

2016年春季福建省南安市侨光中学高二年期末考试

理 科 数 学（参考答案）

一、选择题：每小题5分．1-6:BCBCCB 7-12:ADABDD

二．填空题：每小题5分．(13)0.15 (14)
(15)-126 (16)80

17. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）
，令
代入
方程
，得
的极坐标方程为
，即
．

（Ⅱ）在
的极坐标方程中令
，得
，所以
．在
的极坐标方程中令
，得
，所以
．所以
．

18.（本小题满分10分）解：（1）
．

由函数
在
处与直线
相切，得
，即
，解得：
． （2）由（1）得：
，定义域为
．

此时，
，令
，解得
，令
，得
．

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，

又

设
，则
在
上单调递减，

所以
，即
，所以

所以
在
上的最小值为
．

19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：

（Ⅱ）
的所有可能取值为：0,1,2,3

所以
的分布列是：























所以
的数学期望
．

20.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接
，交
于点

则
为
的中点,又
是
的中点，连接

则
∥
，因为
平面
，
平面

所以
∥平面

（Ⅱ）解：由
，得

以
为坐标原点，
、
、
为
轴、
轴、
轴建立如图的空间坐标系
，

设
，则
，
，
，
，
，

设
是平面
的法向量，

则
，即
，

可取

同理，设
是平面
的法向量，则
，

可取

从而

故

即二面角
的正弦值为
.

（本题满分12分）

解：（Ⅰ）解：由题设，得
， ①

且
， ②

由①、②解得
,
，

椭圆
的方程为
．

（Ⅱ）设
、
．

设直线
的方程为
，与椭圆
的方程联立，得

，

，
是该方程的两根，则
，
．

设直线
的方程为
，

同理得
．

因
，
，

故
，

因此直线
的斜率为定值．

（本题满分14分）（Ⅰ）解:由题设知
在
上恒成立，

设
则当
时，
即
在
上为减函数

∴当
时，
，

∴

（Ⅱ）证明：由题设知
，设

由（Ⅰ）知:当
时，
即
恒成立，

∴当x
(0，＋
)时，

即
在
上为增函数，此时有
，即

∴当x
(0，＋
)时，