三明市A片区高中联盟校2015-2016学年第一学期阶段性考试

高二理科数学试卷

(考试时间：1月26日上午8:00-10:00 满分 150分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“
”的否定是（ ）

A．
B．

C．
D．

2.已知双曲线
的渐近线方程为( )

A．
B．
C．
D．

3.若
,则“
”是“
”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.已知向量
，
，且
与
互相垂直，则
＝（ ）

A.
B.
C.
D.
[:.]

5.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

6.运行如图所示程序框图，输出的结果是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 袋中有大小相同4个小球，编号分别为
从袋中任取两个球（不放回）,则这两个球编号正好相差
的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知
（
）是双曲线C：
上的一点，
是C上的两个焦点，若
，则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

1

2

3

4

5





5

6

7

8

10



9.假设关于某设备的使用年限
和所支出的维修费用
（万元），有如下的统计资料：

由资料可知
对
呈线性相关关系，且线性回归方程为
，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知
是抛物线
的焦点,准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上,且
,则
等于( )

A．
B．
C．
D．

11. 已知
，
，则直线
与平面
交点的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知
是椭圆
与双曲线
共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为
，直线
与双曲线的一条渐近线平行，椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，则
取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡相应位置上.

13.一个单位共有职工
人，其中男职工
人，女职工
人．用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为
的样本，应抽取女职工 人。

14．在四面体
中，
,
,
,
为
的中点，则

= （用
表示）．

15．已知
是椭圆的两个焦点，过
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
两点，若
是正三角形，则这个椭圆的离心率为________．

16.在区间
上随机地选择一个数
，则方程
有两个负根的概率为________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）设命题
：对任意实数x，不等式
恒成立；命题
:方程
表示焦点在
轴上的双曲线.

(1)若命题
为真命题，求实数
的取值范围；

(2)若命题:
为真命题，且“
”为假命题，求实数m的取值范围.

18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了100个用户，得到用户对产品的满意度评分频率分布表如下：

组别

分组

频数

频率



第一组

(50,60]

10

0.1



第二组

(60,70][:]

20

0.2



第三组

(70,80]

40

0.4



第四组

(80,90]

25

0.25



第五组

（90,100）

5

0.05



合计



100

1





(1)根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率；

(2)请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若平均分低于75分，视为不满意。判断该地区用户对产品是否满意？

19. （本题满分12分）如图，在几何体
中，

平面
，
，
是等腰直角三角

形，
，且
，点
在

线段
上，且

（1）求异面直线
与
所成角；

（2）求平面
与平面
所成二面角的余弦值。

20．（本题满分12分）已知抛物线
：
上一点
到焦点
距离为1，

（1）求抛物线
的方程；

（2）直线
过点
与抛物线交于
两点，若
，求直线的方程。

21．（本题满分12分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过
小时收费10元，超过
小时的部分每小时收费
元（不足
小时的部分按
小时计算）．现有甲、乙二人参与但都不超过
小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的。为吸引顾客，每个顾客可以参加一次抽奖活动。

(1) 用
表示甲乙玩都不超过
小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44元的概率；

(2)抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数
，并按如右所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率．

22.（本题满分12分）已知椭圆两焦点
，并且经过点
。

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
（
在
、
之间），试求△
与△
面积之比的取值范围.

三明市A片区高中联盟校2015-2016学年第一学期阶段性考试

高二理科数学答案

一、选择题

1-6 B A A B B C 7-12 B D C C D D

二、填空题

13. 20 14.
15.
16.

三、解答题

17.解：(1) 因为方程
表示焦点在
轴上的双曲线.

，得
；
当
时，
为真命题。 --------- 3分

（2）
不等式
恒成立


，

当
时，
为真命题。 --------- 6分

为假命题，
为真命题，
一真一假； --------- 7分

①当
真
假
②当
假
真
无解

综上，
的取值范围是
--------- 10分

18. 解: (1)用频率估计相应的概率为0.7. --------- 3分

(2)样本众数约为75，

设中位数约为
,则
，得

中位数为75 - ----------7分

各组中值分别为55、65、75、85、95，

故平均值约
-----10分

，
该地区用户对产品是不满意的。---------12分

19.解：(1)依题得，以点
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立如图的空间直角坐标系， 则
，
，
，
，-----1分

∴
，
，

∵
∴

∴
∴
的坐标为
--------- 3分

且
∴ D的坐标为

∴
------ 4分

设异面直线
与
所成角为
，则

∴

∴异面直线
与
所成角为
。 --------- 6分

(2) 易知平面
的一个法向量为
， --------- 7分

设
是平面
的一个法向量，

则
，
，即

令
，解得

--------- 9分

设平面
与平面
所成二面角为
，由图可知，
为锐角，

∴

∴平面
与平面
所成二面角的余弦值为
。 ---------12分

20.解：(1)依据抛物线的定义知：
到抛物线焦点F的距离为
，所以
，抛物线的方程为
； --------- 5分

（2）依题意，直线
的方程设为

，
联立
得
，

由
，得
；
-------- 7分

∴
即
--------- 9分

∴
即
解得
--------- 11分

所以直线
的方程设为
即
--------- 12分

21. 解：(1)设甲付费
元，乙付费
元，其中
．

则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为：

共16种情形． --------- 4分

其中，
这
种情形符合题意．

故“甲、乙二人付费之和为
元”的概率为
．--------- 6分

（2）由已知
点
如图的正方形