石家庄市20152016学年度第一学期期末考试试卷

高二数学（理科）

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．抛物线
的焦点坐标为

A.
B.
C.
D.

2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

3.已知命题
，总有
，则
为

A.
B.

C.
D.

4.
为真命题是
为真命题的

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为15，则①处应填的数字为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6.在棱长为
正方体
中，
和
相交于点O，则有

A.
B.

C.
D.

7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先有计算机随机产生0到9之间取整数的随机数，指定1，,,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

807 966 191 925 271 932 812 458 569 683

489 257 394 027 556 488 730 113 537 741

根据以上数据，估计该运动员三次投篮恰好有两次命中的概率为

A. 0.20 B. 0.25 C. 0.30 D. 0.35

8. 已知双曲线
的离心率为
，则该双曲线的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

9.已知函数
，若在其定义域内任取一数
使得
概率是

A.
B.
C.
D.

10.已知正方体
的棱长为1，M为棱CC1的中点，则点M到平面A1BD的距离是

A.
B.
C.
D.

11.如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点.若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为

A. 4 B.
C.
D.

12. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当
时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002,0003，，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为

.

14.在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片（卡片大小形状均相同），今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为 .

15.已知空间四点
共面，则
.

16.已知两定点
，若直线
上存在点P，使得
,则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知
，圆C以AB为直径.

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）求直线
被圆C截得的弦长.

18.（ 本小题满分10分）

从某校高二年级800名学生中随机抽取100名测量身高，得到频率分布直方图如图.

（Ⅰ）求这100名学生中身高在170厘米以下的人数；

（Ⅱ）根据频率分布直方图估计这800名学生的平均身高.

19. （本小题满分12分）

是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与
的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与
得数据如下表：

时间

周一

周二

周三

周四

周五



车流量x（万辆）

50

51

54

57

58




的浓度y（微克/立方米）

69

70

74

78

79



（Ⅰ）根据上表数据求出y与x的线性回归直线方程
；

（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时
的浓度是多少？（保留整数）

参考公式：

20. （本小题满分12分）

如图，在棱长为2的正方体
中，E,F分别为BB1，CD的中点.

（Ⅰ）求证：
;

（Ⅱ）求平面
与平面ADE所成的二面角(锐角)的余弦值.

21. （本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为F，抛物线上横坐标为
的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设直线
与抛物线C交于A、B两点，若
，求实数m的值.

22. （本小题满分12分）

已知椭圆
过点
，且它的离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线
交椭圆E于M、N两点，若椭圆E上一点C满足
(O为坐标原点)，求实数
的取值范围.

附加题：（本题各校可根据本校的教学进度自行选择，分值自定）

已知函数
在
处取得极值.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.

石家庄市2015-2016学年第一学期期末考试答案

高二数学（理）

一、选择题：

1-5CBDBB　　6-10CCAAD 11-12DA

二、填空题

13．0055 14．
　　 15．
　　　16．

三、解答题

17. 解（Ⅰ）依题意圆心(1,0),半径为2,………………………………………………3分

∴圆C方程为(x-1)2+y2=4． ………………………………………………5分

（Ⅱ）圆心(1,0)到直线
的距离d=1，……………………………7分

直线
被圆C截得的弦长为
……………………10分

18. 解（Ⅰ）前三组的频率为

…………………2分

………………………………………………4分

则高一年级100名学生身高低于170厘米的人数为

（人） ………………………………………………6分

（Ⅱ）

+
……………………8分

（cm）

根据频率分布直方图估计出这800名学生平均身高174.1cm. ……………………12分

19.解（Ⅰ）
，

， ………………………………………………2分

，

，

，………………………………………………4分

，………………………………………………6分

故
关于
的线性回归方程是：
. ………………………………8分

（Ⅱ）当
时，

所以可以预测此时
的浓度约为
. ………………………………………12分

20. 解：

（Ⅰ）如图：以点D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
…………2分

……………………………………………………………………4分

又

，
…………………………………………6分

（Ⅱ）由（1）可知平面ADE的法向量
…………7分

设平面
的法向量为
,

则
， 令
，则

可得

…………………………………………9分

………………………………………………………11分

平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
………………………12分

21.（Ⅰ）由已知及抛物线定义可得抛物线上横坐标为
的点到抛物线顶点
的距离与其到焦点
的距离相等．故
中点横坐标为
，可得焦点
坐标
，………………2分

所以抛物线的方程为：
．………………………………………………4分

（Ⅱ）由
可得，
，

设
，则
，………………………………………………7分

因为
，所以
，即

可得：
………………………………………………9分

∴

，

解得:
，………………………………………………12分

22．解:（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为

由已知得:
解得

所以椭圆的标准方程为:
………………………………………………4分

（Ⅱ） 因为直线
:
与圆
相切

所以，
………………………………………6分

把
代入
并整理得:

设
，则有

…………………………8分

因为，
， 所以，

又因为点
在椭圆上， 所以，

………………………………………………10分

因为
，所以

所以
，所以
的取值范围为
………………12分

附加题

解（Ⅰ）因为
，………………………………………………2分

又
在
处有极值，所以
………………………………………………4分

所以
，

经检验满足题意，所以
. ………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

令
，得
或
， ………………………………………………8分

当
变化时，
的变化情况如下表：

0







2



4























0

↗

极大值

↘

极小值0

↗

16



由上表可知：
.………………………………………………12分

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