江西省赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试

高二数学（文科）试题 2016年1月

（考试时间120分钟．共150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.

1.从学号为
～
的高一某班
名学生中随机选取
名同学参加体育测试，采用系统抽样的方法，则所选
名学生的学号可能是

A.
B.
C.
D.

2.已知
，
，
，
，则下列命题为真命题的是

A.
B.
C.
D.

3.有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到卡片是7的倍数的概率是

A.
B.
C.
D.

4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了
场比赛，他们每场

比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位

数为
，乙运动员的众数为
，则
的值是

A.
B.

C.
D.

5.已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,则该椭圆的离心率是

A.
B.
C.
D.

6.函数
在
处的切线方程是

A.
B.
C.
D.

7.设双曲线
的虚轴长为
，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

8.设
，“
”是“
” 的

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.在区间
上随机取一个实数
，则方程
表示焦点在
轴上的椭圆的概率为

A.
B.
C.
D.

10.一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为
底为
的

等腰三角形，俯视图是边长为
的正方形，那么此几何体的侧面积为

A.
B.
C.
D.

11.如图是计算
的值的一个程序框图，

其中判断框内应填的是

A.
B.
C.
D.

12.函数
在区间
（
为自然对数的底）上的最大值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.

13.读程序，输出的结果是 ．

14.已知函数
的图像与直线
在原点处相切，函数
有极小值
，则
的值为________．

15.已知点
在抛物线
的准线上，过点
的直线与
在第一象限相切于点
，记
的焦点为
，则直线
的斜率是 ．

16.将边长为
正方形
沿对角线
折成直二面角
，有如下四个结论：

（1）
；（2）
是等边三角形；（3）四面体
的表面积为
.则正确结论的序号为 ．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.（本小题满分10分）

一个盒子中装有
个红球和
个白球，这
个球除颜色外完全相同.

（1）无放回的从中任取
次，每次取
个，取出的
个都是红球的概率；

（2）有放回的从中任取
次，每次取
个，取出的
个都是红球的概率.

18.（本小题满分12分）

设命题
实数
满足
（其中
），命题
实数
满足：
.

（1）若
，且
为真，求实数
的取值范围；

（2）若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.

19．（本小题满分12分）

某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市 居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了
位居民在
年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：

（1）求
的值和月均用电量的平均数估计值；

（2）如果用分层抽样的方法从用电量小于
度的居民中抽取

位居民，再从这
位居民中选
人，那么至少有
位居民月

均用电量在
至
度的概率是多少？

20．（本小题满分12分）

四棱锥
中，四边形
为正方形，
⊥平面
，

，
，
分别为
、
的中点．

(1)证明：
∥平面
；

(2)求三棱锥
的体积．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
的离心率为
，
是椭圆的右焦点，点
，若直线
的斜率为
，
为坐标原点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
倾斜角为
的直线
与
相交于
两点，求
的面积.

22.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
为常数．

（1）当
时，求
的极值；

（2）若
是区间
内的单调函数，求实数
的取值范围．

赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试

高二数学（文科）参考答案

一、选择题

1～5. BCAAD； 6～10.ACACC； 11～12.CA.

二、填空题

13.209； 14.-1； 15.
； 16.（1）（2）（3）.

三、解答题

17．解：（1）记两个红球为
，
；两个白球为
，
，无放回的取球共有情况：

，
，
，
，
，

共
情况，取到两个红球的情况
种…………………………………3分

所以
……………………………………………………………………………5分

（2）有放回的取两个球共有
，

，
，

，
共
情况，取到两个红球的情况
种……………8分

……………………………………………………………………………10分

18.解：因为
，
………………………………………………4分

（1）若
为真，因此：
……………………………………………5分

则
的取值范围是：
…………………………………………………………6分

（2）若
是
的必要不充分条件，则有

，解得：
………………………………………………………………9分

所以实数
的取值范围是
………………………………………………12分

19.解：（1）因为频数等于45时频率为0.45，所以
………………2分

月均用电量的平均数：

……………6分

（2）用电量小于30度的居民共有50位，用分层抽样的方法从用电量小于30度的居民中抽取5位居民，则第一组抽1人，第二组抽1人，第三组抽3人………………………………8分

从这5位居民中选2人，共有10种选法，

至少有1位居民月均用电量在20至30度的共有9种………………………………………10分

至少有1位居民月均用电量在20至30度的概率是
……………………………………12分

20.解：（1）取
中点
，连接
………………………………………………1分

因为
分别是
的中点，所以
∥
，
……………………2分

而
∥
，所以
∥
………………………………3分

因此四边形
是平行四边形,所以
∥
……………………………………4分

平面
，
平面

所以
∥平面
………………………………………………………………………6分

（2）
………………………………………………………………………8分

………………………………………………………………………10分

…………………………………………………………………12分

21．（1）由条件可知，
，得
……………………………………………2分

又
，所以
…………………………………………………4分

故
的方程为：
………………………………………………………………5分

（2）直线的斜率为：
，所以方程为：
……………………………6分

设
，是方程组的两解

消除y化简得：
…………………………………………………8分

………………………10分

原点
到直线的距离：
……………………………………………………11分

所以：
……………………………………………………………12分

22.解：（1）当
时，
…………2分

所以
在区间
内单调递减，在
内单调递增……………………………4分

于是
有极小值
，无极大值……………………………………………………6分

（2）易知
在区间
内单调递增，

所以由题意可得
在
内无解…………………………………8分

即
或
…………………………………………………………………10分

解得实数
的取值范围是
…………………………………………