山东淄博淄川一中2015-2016学年度高二第一学期期末学分认定考试

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。满分150分； 考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（共50分）

注意事项：

本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列双曲线中，渐近线方程为
的是( )

A．
B．
C．
D．

2．设
，则“
”是“
”的（ ）条件

A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

3．在
中，如果
，则该三角形是

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．以上答案均不正确

4．已知数列
的前
项和
，那么
的值为

A．
B．
C．
D．

5．在平面直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域的面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．若不等式
的解集为空集，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．下列命题中，说法正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

B.“
”是“
”的必要不充分条件

C．命题“
∈R，使得
”的否定是：“
∈R，均有
”

D．命题“在
中，若
，则
”的逆否命题为真命题

8．等差数列
和
的前n项和分别为Sn和Tn，且
，则

A．
B．
C．
D．

9．在
中，
则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知椭圆
的右焦点为
．短轴的一个端点为
，直线
交椭圆
于
两点．若
，点
到直线
的距离不小于
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。

11．已知等比数列
中，
，那么
的值为 ．

12．如果
，那么
的最小值是 ．

13．若抛物线
的准线经过双曲线
的一个焦点，则
．

14. 设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，则
．

15. 已知
，
.若
或
，则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

如图
中，已知点
在
边上，且
，
，

，
．

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求
．

（注：
）

17．（本小题满分12分）

已知命题
：方程
表示焦点在
轴上的椭圆，命题
：对任意实数
不等式
恒成立.

（Ⅰ）若“
”是真命题，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若“
”为假命题，“
”为真命题，求实数
的取值范围.

18.（本小题满分12分）

已知直线
经过抛物线
的焦点
，且与抛物线相交于
，
两点．

（Ⅰ）当直线
的斜率为
时，求线段
的长；

（Ⅱ）记
，试求t的值．

19.（本小题满分12分）

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
，
两种奶制品．生产1吨
产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨
产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天
产品的产量不超过
产品产量的2倍，设备每天生产
，
两种产品时间之和不超过12小时． 假定每天至多可获取鲜牛奶15吨，问该厂每天生产
，
两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大．

20.（本小题满分13分）

数列
满足
,
.

（Ⅰ） 求
的值；

（Ⅱ） 求数列
前
项和
；

（Ⅲ）设
，
，求数列
的前
项和.

21.（本小题满分14分）

如图，椭圆
：
的离心率是
，过点
的动直线
与椭圆相交于
，
两点，当直线
平行与
轴时，直线
被椭圆
截得的线段长为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）在
轴上，是否存在与点
不同的定点
，使得
恒成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

数学试题答案

选择题答案（文理）：AACDB CDBCB

11．
．

12．
．

13．【答案】

14.
1 ．

15.则
的取值范围是
.

16.（Ⅰ）由
知，

………………………2分

在△ABD中，由余弦定理知

即
，…………………………4分

解得
或

显然
，故
.…………………………6分

（Ⅱ）由
得
……………………8分

在△ABD中，由正弦定理知
，

故
…………………………10分

.…………………………12分

17．解：（Ⅰ）因为对任意实数
不等式
恒成立，

所以
，解得
，．…………2分

又“
”是真命题等价于“
”是假命题，．…………3分

所以所求实数
的取值范围是
．…………4分

17．解：（Ⅰ）因为对任意实数
不等式
恒成立，

所以
，解得
，．…………2分

又“
”是真命题等价于“
”是假命题，．…………3分

所以所求实数
的取值范围是
．…………4分

（Ⅱ）
，……6分

，………7分

，无解…………9分

，…………11分

．…………12分

18.（本小题满分12分）

已知直线
经过抛物线
的焦点
，且与抛物线相交于
，
两点．

（Ⅰ）当直线
的斜率为
，求线段
的长；

（Ⅱ）记
，试求t的值．

解：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点
，准线方程为：
．…………1分

设
，
，由抛物线的定义知

，
，

于是
．………………3分

由
，所以直线
的方程为
，

解方程组
，消去
得
．………………4分

由韦达定理得
，

于是

所以，线段
的长是
．…………………………6分

（Ⅱ）设
,直线
的方程为

联立
得
，

,
…………………………8分

因为,
,
异号,又

…………………………11分

所以 , 所求t的值为
． …………………………12分

方法二：设
,

当直线
的斜率不存在时，
，
；………7分

当直线
的斜率不存在时，设直线
方程为

联立
消去
得
，

,
…………………………9分

………………11分

所以 , 所求t的值为
． …………………………12分

19.（本小题满分12分）

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
，
两种奶制品．生产1吨
产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨
产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天
产品的产量不超过
产品产量的2倍，设备每天生产
，
两种产品时间之和不超过12小时． 假定每天可获取的鲜牛奶数量15（单位：吨），问该厂每天生产
，
两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大．

解：设每天
，
两种产品的生产数量分别为
，
，相应的获利为
，则有

…………4分

目标函数为
． …………5分

上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域．…………7分

作直线
，即直线
. 把直线
向右上方平移

到
的位置，直线
经过可行域上的点
，此时
取得最大值．…………8分

由
解得点
的坐标为
．…………10分

∴当
时，
(元)．

答：该厂每天生产
奶制品
吨，
奶制品
吨，可获利最大为
元．…12分

20.（本小题满分13分）

数列
满足
,
.

（Ⅰ） 求
的值；

（Ⅱ） 求数列
前
项和
；

（Ⅲ）（理科）设
，
，求数列
的前
项和.

解：（Ⅰ）令
，得
，

令
，有
，得
，

令
，有
，得
．…………3分

（Ⅱ）当
时，