顺义区2015-2016学年度 第一学期期末质量监测

高二数学（理科）试卷

一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线
的倾斜角是

A.
B.
C.
D.

2. 直线
过点
，且与直线
垂直，则直线
的方程为

A.
B.

C.
D.

3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为
,

则该几何体的体积是

A.
B.

C.
D.

4. 在空间中，下列命题正确的是

A. 如果直线
∥平面
,直线
内,那么
∥
;

B. 如果平面
内的两条直线都平行于平面
，那么平面
∥平面

C. 如果平面
外的一条直线
垂直于平面
内的两条相交直线，那么

D. 如果平面

平面
，任取直线
，那么必有

5. 如果直线
与直线
平行.那么
等于

A. -1 B.
C. 3 D. -1或

6. 方程
表示的圆

A. 关于
轴对称 B. 关于
轴对称

C. 关于直线
轴对称 D. 关于直线
轴对称

7. 如图，正方体
中，点
，
分别是
，
的中点，则
与
所成角为

A.
B.

C.
D.

8. 如果过点
(-2,0)的直线
与椭圆
有公共点,那么直线
的斜率
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知双曲线的标准方程为
，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.

10. 已知向量
，
且
，则
=________.

11. 已知点
，点
和向量
且
∥
.则点
的坐标为________.

12. 直线
与坐标轴所围成的三角形的面积为________.

13. 抛物线
上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.

14. 已知点
，点
，点
在圆
上，当
的面积最小时，点
的坐标为________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
,
分别是
，
,
的中点.

求证：（I）
∥平面
;

（II）平面
平面
.

16. （本小题共13分）

已知斜率为2的直线
被圆
所截得的弦长为
,

求直线
的方程.

17. （本小题共14分）

如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
∥
，
，
，
为
的中点,
在
上(点
与
两点不重合).

（I） 求证：
；

（II）若
,则当
为何值时,

平面
平面
?

（III）在（II）的条件下,求证：
∥平面
.

18. （本小题共13分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，平面
底面
，
，
,
为
的中点.

（I） 求证：

；

（II） 求二面角
--
--
的余弦值.

19. （本小题共14分）

已知斜率为1的直线
经过抛物线

的焦点
，且与抛物线相交于
，
两点，
.

（I） 求
的值；

（II） 设经过点
和抛物线对称轴平行的直线交抛物线
的准线于点
，求证：
三点共线(
为坐标原点).

20. （本小题共13分）

已知椭圆
的左焦点为
,离心率为
，过点
且与
轴平行的直线被椭圆
截得的线段长为
.

（I） 求椭圆
的方程；

（II）设动点
在椭圆
上（
不是顶点），若直线
的斜率大于
,求直线
(
是坐标原点)的斜率的取值范围.

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高二数学（理科）试卷参考答案 2016.1

一、ABB C BA CD

二、9.（±
,0），
10. -4 11. (1,-2,0)

12. 3 13. (-4,
) 14. （
，
）

说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2.每个空正负只写对一个的给2分。

三、

15.证明（I）在三棱锥A-BCD中，E，
分别是AC，BC的中点.

所以AB∥EG………………………………………………………………3分

因为EG?平面EFG，AB
平面EFG

所以AB∥平面EFG………………………………………………………5分

（II）因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD

所以AB⊥CD………………………………………………………………7分

又BC⊥CD且AB∩BC=B

所以CD⊥平面ABC………………………………………………………10分

又
，
,分别是
，
,的中点

所以,CD∥EF

所以EF⊥平面ABC………………………………………………………12分

又
平面
,

所以,平面平面
平面
.……………………………………………13分

16.解:将圆的方程写成标准形式,得

,

所以,圆心坐标是(0,-7),半径长r=5. ……………………………………3分

因为直线
被圆所截得的弦长是
，

所以，弦心距为
，

即圆心到所求直线
的距离为
. ……………………………………6分

因为直线
的斜率为2,所以可设所求直线
的方程为
,

即
.

所以圆心到直线
的距离为
, ……………………………………9分

因此,

解得
,或
. ……………………………………11分

所以,所求直线
的方程为
,或
.

即
,或
. …………………………………13分

17（I）证明：因为平面
平面
,
,平面
平面
=
,

所以,
平面
. ……………………………………2分

又
平面
,

所以,
. ……………………………………4分

（II）解：由（I）可知,
平面
,又
为
的中点,

当
为
的中点时,
∥
,

所以,
平面
, ……………………………7分

因为
平面
,

所以, 平面
平面
.

此时,
. ………………………………9分

（III）设CD的中点为F，连接BF，FM

由（II）可知，
为
的中点.

所以,FM∥PC.

由题可知AB∥
CD,

即AB∥FD.

所以FM∥AB

所以ABFD为平行四边形.……………………………………………………11分

所以AD∥BF…………………………………………………………………12分

又EM∥AD

所以,EM∥BF.

所以, BEMF共面.

所以，FM?平面BEM，

又PC
平面BEM,

所以PC∥平面BEM…………………………………………………………14分

18.（I）证明：因为平面PCD⊥底面ABCD，PD垂直于这两个平面的交线CD

所以PD⊥底面ABCD……………………………………………………2分

又AC?底面ABCD

所以PD⊥AC……………………………………………………………3分

因为底面ABCD是正方形

所以AC⊥BD

又PD∩BD=D

所以AC⊥平面PBD……………………………………………………5分

因为
平面

所以,

. ………………………6分

（II）解：由（I）可知PD⊥AD，

由题可知PD⊥CD，AD⊥CD.

如图所示建立空间直角坐标系，

点D为坐标原点，

设DC=1

依题意得A（1，0，0），

C（0，1，0），P（0，0，1）

因为底面ABCD是正方形，

所以点B的坐标为（1，1，0）……………………8分

因为,
为
的中点,

所以,点
的坐标为
.
.

设平面
的法向量为
，则

即

令
,得
.

所以,
……………………………………10分

又平面
的一个法向量为
…………………12分

所以,
.

由题知二面角P—BD—E为锐角

所以二面角P—BD—E的余弦值为
. ……………13分

19.（I）由题意可知，抛物线

的焦点坐标为