北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高二数学 2016.1

（文科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

题号

一

二

三

本卷总分









15

16

17

18

19

20





分数





















一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．命题“若
，则
”的逆命题是（ ）



（A）若
，则

（B）若
，则



（C）若
，则

（D）若
，则



2．复数
的虚部是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



3．在空间中，给出下列四个命题：

① 平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

其中真命题的序号是（ ）



（A）①

（B）②

（C）③

（D）④



4．抛物线
的焦点到其准线的距离是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



5．两条直线
，
互相垂直的充分必要条件是（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）





6．如图，在长方体
中，
，

，则下列结论中正确的是( )

（A）
∥

（B）
∥平面

（C）

（D）
平面



7．已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，
．若点

在椭圆上，且
，则点
到
轴的距离为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



8. 在长方体
中，
，
，
，
，
分别为棱
，
的中点. 则从点
出发，沿长方体表面到达点
的最短路径的长度为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.

9. 命题“
，
”的否定是_______.

10. 已知球
的大圆面积为
，表面积为
，则
_______.

11. 如图，在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，
，

则
_______.

12. 已知双曲线
的一个焦点是
，则
_______；双曲线渐近线的方程为_______.

13. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为
，其三视图中的

俯视图如图所示，则其左视图的面积是_______.

14. 已知曲线
的方程是
.关于曲线
的几何性质，给出下列三个结论：

① 曲线C关于原点对称；

② 曲线
关于直线
对称；

③ 曲线C所围成的区域的面积大于
.

其中，所有正确结论的序号是_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

如图，四棱锥
中，
底面
，

底面
是正方形，且
=
.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求四棱锥
的表面积.

16.（本小题满分13分）

如图，已知圆心为
的圆经过原点
．

（Ⅰ）求圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
与圆
交于
，
两点．若
，求
的值．

17.（本小题满分14分）

如图，矩形
所在的平面与正方形
所在的平面相互垂直，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅲ）若
，
，求多面体
的体积．

18.（本小题满分13分）

已知抛物线
的准线方程是
.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线
与抛物线相交于
，
两点，
为坐标原点，证明：

.

19.（本小题满分13分）

如图1，在△
中，
，
为
中点，
于
，延长
交
于
.将△
沿
折起，得到三棱锥
，如图2所示.

（Ⅰ）若
是
的中点，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若平面
平面
，试判断直线
与直线
能否垂直？并说明理由.

20.（本小题满分14分）

如图，已知椭圆
的离心率是
，一个顶点是
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
，
是椭圆
上异于点
的任意两点，且
．试问：直线
是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高二数学（文科）参考答案及评分标准 2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.B 2. D 3.C 4. A 5.C 6.C 7. B 8. B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.
10.
11.

12.
，
13.
14. ①③

注：12题第一空2分，第二空3分；14题多选、少选、错选均不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解： 连结
.

因为
底面
，

所以
. 【 2分】

因为 底面
是正方形，
，

所以
. 【 3分】

在直角三角形
中，

. 【 5分】

（Ⅱ）解：因为
底面
，底面
是正方形，

从而△
，△
为全等的直角三角形， 【 7分】

所以
. 【 8分】

由（Ⅰ）知
， 所以
，

从而 △
，△
为全等的直角三角形. 【10分】

所以，四棱锥
的表面积
【11分】

. 【13分】

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：圆
的半径
， 【 3分】

从而圆
的方程为
． 【 5分】

（Ⅱ）解：作
于
，则
平分线段
，

所以
． 【 7分】

在直角三角形
中，
． 【 9分】

由点到直线的距离公式，得
， 【11分】

所以
， 【12分】

解得
． 【13分】

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连接
交
于
，连接
．

因为
分别为
和
的中点，则
∥
．【 2分】

又
平面
，
平面
， 【 3分】

所以
∥平面
． 【 4分】

（Ⅱ）证明： 因为矩形
所在的平面与正方形
所在的平面相互垂直，

平面
，
，

所以
平面
． 【 6分】

又
平面
， 所以
． 【 7分】

因为
，
是
的中点， 所以
． 【 8分】

所以
平面
． 【 9分】

所以平面
⊥平面
． 【10分】

（Ⅲ）解：多面体
为四棱锥
截去三棱锥
所得， 【12分】

所以
． 【14分】

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为抛物线
的准线方程为
， 【 2分】

所以
， 解得
， 【 4分】

所以 抛物线的方程为
. 【 5分】

（Ⅱ）证明：设
，
.

将
代入
，

消去
整理得
. 【 7分】

所以
. 【 8分】

由
，
，两式相乘，得
， 【 9分】

注意到
，
异号，所以
.