2015年高二复习模拟考试（理工类）

数学试题 试题卷

姓 名





























准考证号

【考试说明】

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷共计150分，考试时间120分钟。

2.本次考试阅卷采用网上阅卷，请同学们务必将自己的答案填涂在答题卡相应的位置，答题卡填涂注意事项见答题卡。

3.考试结束时，同学们应上交答题卡、试卷和草稿纸。

第Ⅰ卷(选择题，满分50分)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共计50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意的.）

1.集合A={0，1，2}，B={
|
≤0}，则A∩B=（ ▲ ）

A．

{1}

B．

{2}

C．

{0，1}

D．

{1，2}



2.若四个幂函数
，
，
，
在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（ ▲ ）

A．d>c>b>a B. a>b>c>d C. d>c>a>b D. a>b>d>c

3.将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

4.函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω>0，|φ|<0）的图像如图所示，则y的表达式为（ ▲ ）

A．

B．

C．

D．

5.记cos（—80o）= k那么tan100o=（ ▲ ）

A．
B. －
C.
D. －

6.已知函数f（x）= ，若数列
满足
（n
），且
是递增数列，则实数a的取值范围是（ ▲ ）

A．
B.
C.（2,3） D.（1,3）

7.已知三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+
=
tanA·tanB，则三角形的面积为（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

8. 在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足
，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，
，
，
，记
，
，
，则
取到最大值时，2x+y的值为（ ▲ ）

A．
B.
C.1 D.—1

9.已知两条直线
和
=
（m＞0），
与函数
的图象从左至右相交于点A，B，
与函数
的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，
的最小值为（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

10. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=
与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ▲ ）

A．
B.[—1,0] C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题，满分100分)

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.）

11.求sin15 o= ▲ .

12.设函数f（x）满足f（n+1）=
（n
），且f（1）=2，则f（20）的值为 ▲ .

13.已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=
，则cos2α的值为 ▲ .

14. 在直角坐标系xOy中，点P（
）和点Q（
）满足 按此规则

由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若
=m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin（x+θ）的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为 ▲ .

15. 如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下五个命题：

①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；②当且仅当x=
时，四边形MENF的面积最小；③多面体ABCD﹣MENF的体积为
④四棱锥C′﹣MENF的体积V=V（x）为常函数；⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[
，1]

以上命题中正确的选项有 ▲ .（填上所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6个小题，共计75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知向量?
?，且?
?，求：（Ⅰ）?
?及?
?；（Ⅱ）若?
?的最小值为?
?，求?
?的值。

17.在△ABC中，角A为锐角，且f（A）=

.

（Ⅰ）求f（A）的最大值；（Ⅱ）若A+B=
，f（A）=1，BC=2，求在△ABC的三个内角和AC的长.

18. 已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0 （Ⅰ）若f（x）在
上单调递增，求ω的取值范围；（Ⅱ）令ω=2，将函数y= f（x）的图像向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到函数g= f（x）的图像，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b—a的最小值．

19. 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里并以20海里/时

的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行，应沿什么方向，用多

少小时能尽快追上乙船？ （方向可用反三角函数表示）

20.已知数列
满足
，
=3，且
=（1+2
）
+
（n
）

（Ⅰ）求
的值（k
）；（Ⅱ）数列
，
满足
，
，且当n≥2时，
.证明当n≥2有
；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较
与4的大小.

21.已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（a?b）=af（b）+bf（a）．

（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若
，令
，
表示数列
的前n项和.试问：是否存在关于n的整式g（n），使得
对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由.

2015年高二复习模拟考试（理工类）

数学试题 答案

第Ⅰ卷(选择题，满分50分)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共计50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意的.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

D

D

B

C

C

A

B

A





二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.）

11.
12.97 13.
14.
15. ②③④⑤

三、解答题（本大题共6个小题，共计75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解：（Ⅰ）?

又?
?从而?

（Ⅱ）?

由于?
?故?

①当?
?时，当且仅当?
?时，?
?取得最小值?
?，这与题设矛盾

②当?
?时，当且仅当?
?时，?
?取得最小值?
?，由?
?及
?得?

③当?
?时，当且仅当?
?时，?
?取得最小值?
?，由?
?，得?
?与
?矛盾

综上所述，?
?即为所求。

17.解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

18. 解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）在
上单调递增，且ω＞0，

∴
，且
，

解得
．

（Ⅱ）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到
，

∴函数y=g（x）=
，

令g（x）=0，得
，或x=
（k∈Z）．

∴相邻两个零点之间的距离为
或
．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴
．另一方面，在区间
恰有30个零点，

因此b﹣a的最小值为
．

19. 解：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。∴α=120°。根据余弦定理
，
，
，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=
，t=
（舍）∴AC=28×
=21 n mile，BC=20×
=15 n mile。根据正弦定理，得
，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin
，又
＜
＜
，∴arcsin
＜
，∴甲船沿南偏东
－arcsin
的方向用
h可以追上乙船。

20. 解：（1）设n=2k﹣1

由

∴a2k+1﹣a2k﹣1=1

∴数列（a2k﹣1}为等差数列．

∴a2k﹣1=k（k∈N*）； …（4分）（2）证：y=a2n﹣1=n．当n≥2时，
…①

∴
…②…（6分）

②式减①式，有
，得证． …（8分）

（3）解：当n=1时，
；

当n=2时，
，

由（2）知，当n≥2时，
，

∴当n≥3时，
=

∵
，

∴
…（13分）

22. 解：（1）令a=b=0，得f（0）=0?f（0）+0?f（0）=0．

令a=b=1，得f（1）=1?f（1）+1?f（1），∴f（1）=0．（2分）

（2）令a=b=﹣1，得f（1）=f[（﹣1）?（﹣1）]=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=﹣2f（﹣1），∴f（﹣1）=0．

令a=﹣1，b=x，得f（﹣x）=f（﹣1?x）=﹣1?f（x）+x?f（﹣1）=﹣f（x）+0=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数．（5分）

（3）当
．

令
，∴g（an）=ng（a）．（7分）

∴f（an）=an?g（an）=n?an?g（a）=n?an﹣1?f（a）．

∵

∴f（2）=2，

∴
（9分）∴
，∴

即nSn﹣（n﹣1）Sn﹣1=Sn﹣1+1，（11分）

∴（n﹣1）Sn﹣1﹣（n﹣2）Sn﹣2=Sn﹣2+1，…，2S2﹣S1=S1+1，

∴nSn﹣S1=S1+S2+…+Sn﹣1+n﹣1，

∴S1+S2+…Sn﹣1=nSn﹣n=（Sn﹣1）?n（n≥2）

∴g（n）=n．

故存在关于n的整式g （n）=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立 （14分）