张家界市一中2017届高二第三次月考数学（理）

命题人及审题人：高二数学组

考生注意：本试卷共21道小题，满分150分，时量120分钟，请将答案写在答题卡上．

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．若集合
，
，则集合
( C )．

A．
B．
C．
D．

2．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为( C )

A．
B．
C．
D．

3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事

先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况

差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( C )

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样

4.设
，则“
”是“
为偶函数”的(　A　 )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.已知数列
满足：
，则
( B )

A.
B.
C.
D.

6、执行如图所示的程序框图,输出的S值为( C )



A．1 B．
C．
D．

7．已知函数
的导函数为
，且满足关系式
，则
的值等于( B )

A．
B．
C．
D．

8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是( D )

A．(0,2] B．(0,2) C．[，2) D．(，2)

9．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　D　 )．

A．x2＝y B．x2＝y

C．x2＝8y D．x2＝16y

10．函数
的定义域是R，
，对任意
，
，则不等式

的解集为(　A 　)．

A．

B．

C．

D．

11．如图，已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，
是
轴正半轴上一点，
交椭圆于
，若
，

且
的内切圆半径为
，则椭圆的离心率为（ B ）

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
为
上的可导函数，当
时，
,则关于
的函数
的零点个数为( C )

A. 1 B. 2 C. 0 D. 0或2

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.

13.在2015年3月15日这天，郑州市物价部门对本市5家商场某商品一天的销售量及其价

格进行了调查，5家商场某商品的销售价格x(元)与销售量y(件)之间的一组数据如下表：

价格x

9

9.5

10

10.5

11



销售量y

11

10

8

6

5



作出散点图，可知销售量y与价格x之间具有线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋,则实数的值是 __40__．

14．如右图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，

AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是

15．记圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域为D，

随机地往圆O内投一个点A，则点A落在区域D内的概率是

16．已知函数
.在区间
上单调递增，

则
的取值范围为

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分) 已知命题
:方程
表示焦点在
轴上的双曲线，

命题
:
是减函数，若
或
为真命题，
且
为假命题，求实数
的取值范围

解：若p是真，1

f(x)=－(5－2m)x是减函数，须5－2m>1即q是真命题，m<2 ……………………………6分

由于p或q为真命题，p且q为假命题

故p、q中一个真，另一个为假命题 ……………………………………7分

因此，
或
……………………………………10分

18. (12分)以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。

（1）如果x=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果x=9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树为19的概率.

甲　组　　　　乙　组

9　9　　0　　x　8　9

1　1　　1　　0

.解：（1）当
时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10.所以平均数为
方差为
……………………………………6分

（2）记甲组四名同学为
，
，
，
，他们植树的棵树依次为9，9，11，11：乙组四名同学为
，
，
，
，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）（
，
）。

设选出的两名同学的植树总棵数为19为事件C，则C中的结果有4个，它们是（
，
）（
，
）（
，
）（
，
），故所求概率为
……………………12分

19．(12分)已知
是函数
的一个极值点．

(1)求
；

(2)求函数
的单调区间；

(3)若直线
与函数
的图象有3个交点，求
的取值范围．

解：　f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，

∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)的极值点，故a＝16.

(2)由(1)知f′(x)＝.

当－13时，f′(x)>0；

当1

∴f(x)的单调增区间为(－1,1)，(3，＋∞)，

单调减区间为(1,3)．

(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21.

因为f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)，

f(e－2－1)<－32＋11＝－21

所以根据函数f(x)的大致图象可判断，在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)

因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．

19．（12分）如图，在四棱锥
中，已知
底面
，
，
，PB=AB＝AD＝2，
.

(1)求证：面PCD⊥面PBD；

(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；

(3)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A-BE-D的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由．

(1)证明：　PB⊥底面ABCD，∴PD⊥CD，

又∵CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB?平面PBD.

∴CD⊥平面PBD，又CD?平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PBD.

(2)解：　如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝a，BP＝b，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，

D(2,2,0)，P(0,0，b)．

∵＝(2,2，－b)，＝(2,2－a,0)，CD⊥PD，

∴·＝0，∴4＋4－2a＝0，a＝4，

又＝(2,0，－b)，＝(2，－2,0)，

异面直线PA和CD所成角等于60°，

∴＝，

即＝，解得b＝2，

＝(0,4，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．

设平面PAD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则由得

取n1＝(1,0,1)，

∵sin θ＝＝＝，∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.

(3)解　假设存在，设＝λ，且E(x，y，z)，则(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)，设平面DEB的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则由得

取n2＝(λ－1,1－λ，λ)，

又平面ABE的法向量n3＝(0,1,0)，

由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合题意)．

∴存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点．

21（12分）已知抛物线
的一个焦点为
，对应于这个焦点的准线方程为

（1）写出抛物线
的方程；

（2）过
点的直线与曲线
交于
两点，
点为坐标原点，求
重心
的轨迹方程；

（3）点
是抛物线
上的动点，过点
P作圆
的切线，切点分别是
,当
点在何处时，
的值最小？求出
的最小值.

解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （3分）

（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-
)，代入y2=2x，

得：k2x2-(k2+2)x+
.

设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=
，y1+y2=k(x1+x2-1)=
.

设△AOB的重心为G（x，y）则
，

消去k得y2=
为所求， （5分）

②当直线垂直于x轴时，A（
，1），B（
，-1）， （7分）

△AOB的重心G（
，0）也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为y2=
， （8分）

（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=
，

根据圆的性质有：|MN|=2
. （10分）

当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，

设P点坐标为(x0，y0)，则y
=2x0.

|PQ|2=（x0-3）2+ y
= x
-4x0+9=(x0-2)2+5，

∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，

故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值. (12分)

22．（12分）已知函数
（
为常数，
为自然对数的底）

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若函数
在
上无零点，求
的最小值；

（3）若对任意的
，在
上存在两个不同的
使得
成立，求