荆州中学2015～2016学年度上学期

期 中 考 试 卷

年级：高二 科目：数学（理科） 出题人： 审题人：

一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）

1.荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ ）

A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定

2.已知点
,且
,则实数
的值是（ ）

A.
或4 B.
或2 C.3或
D.6或

3．某店一个月的收入和支出总

共记录了
个数据
，
，

其中收入记为正数，支出记为负数.

该店用右边的程序框图计算月总收入

和月净盈利
，那么在图中空白的判

断框和处理框中，应分别填入下列四个

选项中的( )

A．
B．

C．
D．

4.用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（ ）

A.
倍 B.
倍 C. 2倍 D.
倍

5.如图（１）所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（　　）

（1）

6.已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，且
，给出下列结论：①若
∥
，则
∥
；②若
∥
，则
∥
；③若
⊥
，则
⊥
； ④若
⊥
，则
⊥
；其中正确结论的个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ）

A. 3∶4 B. 9∶16 C. 27∶64 D.

8. 在同一直角坐标系中，方程
与
的图形正确的是（ ）．

A. B. C. D.

9. 若
为圆
的弦
的中点，则直线
的方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知点
、
若直线
过点
，且与线段AB相交，则直线
的斜率的取值
范围是（　 ）

A.
B.
C.
D.

11.若直线
与曲线
有两个不同的交点，则实数
的取值范围是（ ）

A .
B.
C.
D.

12.若圆
与圆
关于直线
对称，则圆
的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（共20分，每小题5分）

13.过圆
上一点
的切线方程为 ．

0

1

2

3





1

3







14.已知
与
之间的一组数据如右图所示，当
变化时，

与
的回归直线方程
必过定点 .

15. 若四面体的四个顶点到平面
的距离相等，则这样的平面
的个数是 ．

16．荆州市为了解
岁的老人的日平均睡眠时间（单位：
），随机选择了
位老人进行调查，下表是这
位老人睡眠时间的频率分布表：

序号

分组（睡眠时间）

组中值（
）

频数（人数）

频率（
）



1





6





2





10





3





20





4





10





5





4







在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的
的值为 .

三、解答题

分组

频数



[0，0.5）

4



[0.5，1）

8



[1，1.5）

15



[1.5，2）

22



[2，2.5）

25



[2.5，3）

14



[3，3.5）

6



[3.5，4）

4



[4，4.5]

2



合计

100



17.（本小题满分10分）某地区100位居民的人均月用水量（单位：t）的频率分布直方图及频数分布表如下：（1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数与平均数；（2）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府解释说，85%以上的居民不超出这个标准，这个解释对吗？为什么？

18.（本小题满分12分）已知一条光线从点
射出，经过
轴反射后，反射光线与圆
相切，求反射光线所在直线的方程.

19.（本小题满分12分）在2015年全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：

甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；

乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；

（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图估计他们的中位数；

（2）已知甲、乙两人成绩的方差分别为
与
，分别计算两个样本的平均数
和标准差
，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较好，哪位运动员的成绩比较稳定.

20.（本小题满分12分）设
是直线
外一定点，且点
到直线
的距离是
，试证明：
.

21.（本小题满分12分）在三棱锥
中，
，
，点
在棱
上，且
.

（Ⅰ）试证明：
；

（Ⅱ）若
，过直线
任作一个平面与直线

相交于点
，得到三棱锥
的一个截面
，

求
面积的最小值；

（Ⅲ）若
，求二面角
的正弦值.

22．（本小题满分12分）已知圆
和定点
，由圆
外一点
向圆
引切线
，切点为
，且满足
．

（1）求实数
间满足的等量关系；

（2）若以
为圆心的圆
与圆
有公共点，试求圆
的半径

最小时圆
的方程；

（3）当
点的位置发生变化时，直线
是否过定点，如果

是，求出定点坐标，如果不是，说明理由.

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期 中 考 试 卷

年级：高二 科目：数学（理科） 出题人： 审题人：

参考答案

一、选择题

CDCBC ADCCA BC

二、填空题

;
; 7； 6.42

三、解答题

17. 解：（1）由图知，这组数据的众数为2.25， 平均数为2.02．

（2）人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%，即大约是有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的．

18.解：A关于x轴的对称点
。反射光线相当于是从
点射出的光线。

因为反射光线的斜率存在，所以反射光线所在的直线可设为

即
因为该直线与圆相切，所以

…10分

所以反射光线所在直线方程为
或

19.解：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字。

由上图知，甲中位数是9.05，乙中位数是9.15

（2）解：
＝
×（9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8）=9.11

＝
×（9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1）＝9.14

S甲＝

由
，这说明乙运动员的好于甲运动员的成绩

由S甲
S乙，这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计，乙运动员比较稳定。

20.证明

方法一，
， 设
是直线上一点，则

因为
所以

方法二 过点
作直线
的垂线
，垂足为
，则直线
的方程为

而直线
的方程可写为

由直线
与直线
都过点
知

两式平方和可得

所以，点
到直线
的距离

21.解：（1）证明：

（2）

（3）由（2）知，当

所以，

22.解：（1）连

为切点，
，由勾股定理有
.又由已知
，故
.

即：
.

化简得实数
间满足的等量关系为：
.

（2）解法1：设圆
的半径为
，

圆
与圆
有公共点，圆
的半径为1，

即
且
.

而
，故当
时，

此时,
，
.得半径取最小值时圆
的方程为
．

解法2： 圆
与圆
有公共点，圆
半径最小时为与圆
外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心
到直线
的距离减去1，圆心