武汉二中2015-2016学年度上学期期中考试

高二文科数学试卷

命题教师:陈 锟 审题教师：左建华

考试时间:2015年11月13日上午8:00—10:00 试卷满分:150分

一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上。）

1. 已知命题
,则
是( )

.


.

.


.

2. 抛物线
的准线方程是 ( )

A.
B.
C.
D.

3. 已知函数
其中
为常数,那么“
”是“
为奇函数”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．设
，若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5.与双曲线
有共同的渐近线，且经过点
的双曲线的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（ ）

A. {x|x≥3或x≤－1，x∈Z} B. {x|－1≤x≤3， x∈Z}

C. {0,1,2} D. {－1,0,1,2,3}

7．若直线
：
与曲线C：
恰好有一个公共点，则实数
的值构成的集合为（ ）

A.
B.
C
D

8．设
为不同的平面，
为不同的直线，则
的一个充分条件为（ ）．

A．
，
，
B．
，
，

C．
，
，
D．
，
，

9. 过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)

A. －＝1 B. －＝1 C . －＝1 D. －＝1

10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为
，且两条曲线在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形，若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，
，则
的取值范围是

A．（1，
） B．（
，
） C．（
，
） D．（
，+
）

11. 已知
是双曲线
的左焦点，P是C右支上一点，
，当
周长最小时，该三角形的面积为( )

A.
B.
C.
D.

12. 已知椭圆
上有一点A,它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。把正确答案填在答题卡的相应位置。）

13. 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为
，E的右焦点与抛物线
的焦点重合，
是C的准线与E的两个交点，则
．

14．给出如下四个命题：

①若“
或
”为真命题，则
、
均为真命题；

②命题“若
且
，则
”的否命题为“若
且
，则

”；

③在
中，“
”是“
”的充要条件；

④ 已知条件
,条件
,若
是
的充分不必要条件,则
的取值范围是
；

其中正确的命题的是 ．

15．已知
为抛物线
的焦点，抛物线的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于
、
两点．若
为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．

16．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1. 记点M的轨迹为C, 则曲线C与
交点的坐标是 ；若点
为曲线C上动点, 又点
，那么
的最小值为 ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）

17．（本小题满分10分）

设命题p：函数
的定义域为R, 命题q：双曲线
的离心率
,

（1）如果p是真命题，求实数
的取值范围；

（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分10分）

(1) 设函数
,其中θ∈
,求导数
的取值范围;

(2)若曲线
与曲线
在它们的公共点
处具有公共切线，

求公共切线的方程.

19. （本小题满分12分）

已知双曲线
, 若双曲线的渐近线过点
, 且双曲线过点

(1) 求双曲线
的方程;

(2)若双曲线
的左、右顶点分别为
,点
在
上且直线
的斜率的取值范围是
,求直线
斜率的取值范围.

20. （本小题满分12分）

如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，
，

（1）证明：平面
平面
；

（2）若
，

, 令AE与平面ABCD所成角为
, 且
, 求该四棱锥
的体积.

21．（本小题满分13分）

如图，椭圆
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的短轴长。
与
轴的交点为M，过坐标原点O的直线
与
相交于点A、B．

（1）求
，
的方程；

（2）求证：MA⊥MB．

22. （本小题满分13分）

已知△
的两个顶点
的坐标分别是
，且
所在直线的斜率之积等于
．

（1）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹
为何种曲线；

（2）当
时，点
为曲线 C上点, 且点
为第一象限点,过点
作两条直线与曲线C交于
两点，直线
斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．

武汉二中2015-2016学年度上学期期中考试

高二文科数学答案

一. 选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

C

B

C

C

D

D

A

B

A

C





二.填空题

13.
14. ③④ 15.
16.
,2

三．解答题

17.【解析】（1）若命题p为真命题，则
恒成立

（2）若命题q为真命题,则
，

p真q假时，
；p假q真，则
，

综上

18.【解析】(1)∵f′(x)=sinθ·x2+
cosθ·x,

∴f′(1)=sinθ+
cosθ=2sin
.

∵θ∈
,∴θ+
∈
,∴sin
∈
,∴f′(1)∈[
,2].

(2)
的导数为
，
的导数为
，由题意
①，

又
②，由①②联立解得
,

切线方程方程:
．

19.[答案](1)
;(2)

【解析】(1)由题意,
,则
,故双曲线
.

(2)设点
,由题意,
,

,

故
又

,则

20【答案】（1）见解析（2）

(1)证明:
四边形
为菱形,
,

又
,
,

故

又
,

(2)解：

由题意,

中,
,

故

21【解析】（1）椭圆C1的离心率e=
，∴a2=2b2

又∵x轴被曲线
截得的线段长等于C1的短轴长．

∴
，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为

而抛物线C2的方程为y=x2﹣1；

（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），

则由
消去y，得x2﹣kx﹣1=0（4分）

∴x1+x2=k，x1x2=﹣1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1?kx2=k2x1x2=﹣k2∵M坐标为（0，﹣1），可得
，

∴
=x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0

因此，
，即MA⊥MB

22【解析】（1）令
点坐标为
，则直线
的斜率
，直线
的斜率
，因为两直线的斜率之积为m，所以有
，化简得到
，所以

当
时 , 轨迹
表示以（0，0）为圆心，
为半径的圆，且除去
两点；

当
时, 轨迹
表示焦点在
轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时 , 轨迹
表示焦点在
轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时, 轨迹
表示焦点在
轴上的双曲线，且除去
两点；

(2)由题意曲线C为
,点
,

设
,令直线
,

联立椭圆方程,得
,则
,同理,
,

故直线EF斜率为为定值