成都市“六校联考”高2014级第三学期期中试题

数 学（理）

（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是

A．
B．

C．
D．

2．已知点A
和B
在直线
的两侧，则直线
倾斜角的取值范围是

A．
B．
C．
D．

3．若
、
、
是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是

A．


B．

C．


D．

4． 对任意的实数
，直线y=kx+1与圆
的位置关系一定是

A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心

5．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为

A．
B．
C．
D．

6．已知圆
，从点
发出的光线，经
轴反射后恰好经过圆心
，则入射光线的斜率为

A．
B．
C．
D．

7．已知实数x、y满足约束条件
则目标函数
的最大值为

A．3 B．4 C．
D．

8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为

A．
B．
C．
D．

9．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为

A．4 B．3 C．2 D．

10．如图所示，在棱长为1的正方体
中,
是
上一动点，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

11．若直线
与曲线
有公共点，则b的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=
．有下列四个结论： ①CE⊥BD； ②三棱锥E—BCF的体积为定值； ③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形； ④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线，其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

（10题图） （ 12题图）

第II卷（非选择题）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）．

13．已知三条直线
和
交于一点，

则实数
的值为　▲▲▲　．

14．如图，在棱长为1的正方体
中，M、N

分别是
的中点，则图中阴影部分在平面
上的

投影的面积为　▲▲▲　．

15．圆心在直线
上的圆C与
轴交于两点
，
，圆C的方程为　▲▲▲　．

16．如图正方形
的边长为
，已知
，将
沿
边折起，折起后
点在平面
上的射影为
点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①
与
所成角的正切值是
；②
∥
；③
的体积是
；④平面
⊥平面
；

⑤直线
与平面
所成角为
．

其中正确的有 ▲▲▲ ．（填写你认为正确的序号）

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

17．（本小题满分12分）已知直线
，

（1）若直线
过点（3，2）且
，求直线
的方程；

（2）若直线
过
与直线
的交点，且
，求直线
的方程．

18．（本小题满分12分）如图所示，正方形
和矩形
所在平面相互垂直，
是
的中点．

（1）求证：
；

（2）若直线
与平面
成45o角，求异面直线
与
所成角的余弦值．

19．（本小题满分12分）已知关于x，y的方程C:
．

（1）当m为何值时，方程C表示圆．

（2）若圆C与直线l: x+2y-4=0相交于M，N两点，且MN=
，求m的值．

20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=PC=2．E是PB的中点．

（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（2）求二面角P—AC—E的余弦值；

（3）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）如图，圆
：
．

（Ⅰ）若圆
与
轴相切，求圆
的方程；

（Ⅱ）已知
，圆
与
轴相交于两点
（点
在点
的左侧）．过点
任作一条直线与圆
：
相交于两点
．问：是否存在实数
，使得
？若存在，求出实数
的值，若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分10分）如图甲，⊙
的直径
，圆上两点
在直径
的两侧，使
，
．沿直径
折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），
为
的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求点
到平面
的距离；

（2）在
弧上是否存在一点
，使得
∥平面
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

成都市“六校联考”高2014级第三学期期中试题

数 学（理）

参考答案

选择题：

1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 9. C 10. D 11. C 12. D

填空题

13. -1 14.
15.
16. ①④⑤

17. 解析：（1）设直线
的方程为
，
过点（3，2）

∴
∴直线的方程为
6分

（2）
交点为

∵
∴直线方程为
12分

18. 解析：（1）证明：在矩形
中，

∵平面

平面
，且平面

平面

∴
且
平面

∴
5分

（2）由（1）知：

∴
是直线
与平面
所成的角，即

设
取
，连接

∵
是
的中点 ∴

∴
是异面直线
与
所成角或其补角

∵
，
，

在
中，由余弦定理有：

∴ 异面直线
与
所成角的余弦值为
． （用向量法也可） 12分

19. 解析：（1）方程C可化为

显然
时方程C表示圆．即
4分

（2）圆的方程化为

圆心C（1，2），半径

则圆心C（1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为

，有

得
12分

20. 解析：（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=
， ∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． 4分

（2）由（1）知AC⊥平面PBC

即为二面角P—AC—E的平面角．

∴在
, 又E为中点,可得

∴

从而二面角P—AC—E的余弦值为