通榆一中2015-2016学年度高二上学期第一次月考

数 学 试 卷 (理）

第Ⅰ卷

一.选择题（共12题，每题5分，共60分）

1.一个命题与其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中 （ ）

真命题与假命题的个数相同 B、真命题的个数一定是奇数

C、真命题的个数一定是偶数 D、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

2.已知曲线C的方程为x3＋x＋y－1＝0，则下列各点中在曲线C上的点是 (　　)

A．(0,0) B．(－1,3) C．(1,1) D．(－1,1)

3.下列命题中是真命题的是 （ ）

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题④“若x－
是有理数，则x是无理数”的逆否命题

A、①②③④ B、①③④ C、②③④ D、①④

4.已知下列曲线：

以及编号为①②③④的四个方程：①－＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.则按曲线(1)(2)(3)(4)的顺序，依次与之对应的方程的编号是 （ ）

A．③②①④ B．④②①③ C．②④①③ D．①②③④

5.“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

6已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是

（ ）

（A）
（x≠0） （B）
（x≠0）

（C）
（x≠0） （D）
（x≠0）

7.已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则其焦距为 (　　)

A．2 B．2 C．2 D．2

8.已知点F1、F2分别是椭圆
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率
为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 (　　)

A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0

C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

10.若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是

A．cos θ＝ B．cos θ＝ C．sin θ＝ D．sin θ＝

11.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）

A．(0,1) B. C. D.

12.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是 (　　)

A．45° B．60°

C．90° D．120°

第Ⅱ卷

二．填空题（每题5分，共20分）

13．不等式kx2＋x＋k>0恒成立的充要条件是_______

14.椭圆＋y2＝1的两个焦点F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P，则|PF2|＝ .

15．已知椭圆＋＝1的离心率为，则m＝ ;

16．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成锐二面角的大小为______ ______．

三．解答题（17题10分，18、19、20、21、22题每题12分）

17.设
：方程
有两个不等的负根，
：方程
无实根，若p或q为真，p且q为假，求
的取值范围．

18. 已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程．

19.动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．

20. 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m (m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

21. 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝AA1．

(Ⅰ)求证：AD⊥B1D； (Ⅱ)求证：A1C∥平面A1BD；

(Ⅲ)求二面角B－AB1－D平面角的余弦值．

22.已知椭圆的焦点在
轴上，短轴长为4，离心率为
.

(1)求椭圆的标准方程； （2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且
，求直线l的方程.

理科答案

题号

1gkstkCom

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

B

B

A

A

D

C

D

C

B



13.
; 14.
; 15.
;16.

17、解：若方程
有两个不等的负根，则
， …………2分

所以
，即
． ………………………………………………………3分

若方程
无实根，则
， …………4分

即
， 所以
． …………………………………………………5分

因为
为真，则
至少一个为真，又
为假，则
至少一个为假．

所以
一真一假，即“
真
假”或“
假
真”． ……………………………6分

所以
或
…………………………………………………8分

所以
或
．

故实数
的取值范围为
． …………………………………………10分

18.解设点M（x,y)由已知
,所以
，

而

从而

即三角形顶点M的轨迹方程为
。---------------12分

19.解　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，

∴，即，

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.

∴点P的轨迹方程为

------------------------12分

解：椭圆的方程化为
所以

所以焦点在
轴，又离心率
所以
解得
-------6分

，所以长轴长
；短轴长
；焦点坐标

顶点
------------------12分

21.(Ⅰ)证明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，

∴平面BB1C1C⊥平面ABC．

∵正△ABC中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BB1C1C，

∴AD⊥B1D．---------------------------------------------------3分

(Ⅱ)解：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE．

∵AB＝AA1， ∴ 四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C．

∵DE
平面A1BD，A1C
平面A1BD，∴A1C∥平面A1BD．----------------7分

(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB＝AA1＝1，

则

设n1＝(p，q，r)是平面A1BD的一个法向量，

则
且

故
取r＝1，得n1＝(2，0，1)．

同理，可求得平面AB1B的法向量是

设二面角B－AB1－D大小为??，∵

∴二面角B－AB1－D的平面角余弦值为
----------------12分

22. 解：（1）设椭圆的标准方程为
，

由已知有：
，
，

解得：

∴ 所求椭圆标准方程为
①-------------------------------------6分

（2）设l的斜率为
，M、N的坐标分别为
，

∵椭圆的左焦点为
，∴l的方程为
②

①、②联立可得

∴

∴
---------------------------8分

又 ∵

即

∴

∴

∴

∴

∴
∴

∴l的方程为
或
-----------------12分

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