第一学期高二年级第一次联考

数学试卷

试卷Ⅰ（共 60 分）

一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分）

1.
=

．

．

．

．

2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为

．7
． 15
．25
．35

3.正定中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。现将800名学生从1到800进行编号，在
中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从
中应取的数是

．47
．48
．54
．55

4. 等差数列
中，
，则该数列前13项的和是

． 13
． 26
．52
． 156

5. 如图是一个容量为
的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围
的频数是

.

.

.

.

6. 若变量
满足约束条件
则
的最大值为

. 1
. 2
. 3
. 4

7. 若一个样本容量为
的样本的平均数为
，方差为
.现样本中又加入一个新数据
，此时样本容量为
，平均数为
，方差为
，则

.

.

.

.

8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是

.

.

.

.

9.连续掷两次骰子分别得到点数
，则向量
与向量
的夹角
的概率是

.

.

.

.

10.
在
上有零点，则
的取值范围为

.

.

.

.

11.已知三棱锥
内接于球
，
，
，

则球
的表面积为

.
　　
.
　
.
　　
.

12.已知点
满足
，则满足到直线
的距离
的点
概率为

.

.

.

.

试卷
Ⅱ（共 90 分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.平面向量
与
的夹角为60°，
,则
等于

14. 右图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是________

15.
内角A、B、C的对边长分别为
、
、
，已知
，且
则

16.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为_______

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

（本小题满分10分）

已知函数

（1）求函数
的最大值；

（2）已知
的面积为
，且角
的对边分别为
求
的值.

18.（本小题满分12分）

某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，……，第八组：[130,140]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

（2）估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分和方差(可用中值代替各组数据平均值)；

（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机

抽取2名，求他们的分差小于10分的概率．

19．（本小题满分12分）

某种产品的广告费支出x与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x

2

4

5

6

8



y

30

40

50

60

70



如果y与x之间具有线性相关关系．

(1) 求这些数据的线性回归方程；

(2)预测当广告费支出为9百万元时的销售额．

附:线性回归方程
中,
,
,

20．（本小题满分12分）

已知关于
的一元二次函数

（1）设集合
和
，分别从集合
和
中随机取一个数作为
和
，求函数
在区间[
上是增函数的概率；

（2）设点
是区域
内的随机点，求函数
上是增函数的概率.

21.（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
底面
，
分别为
的中点。

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的大小。

22．在平面直角坐标系
中，已知圆
的圆心为
，过点
且斜率为
的直线与圆
相交于不同的两点
．

（1）求
的取值范围；

（2）是否存在常数
，使得向量
与
共线？如果存在，求
值；如果不存在，请说明理由．

2015—2016学年度第一学期第一次月考

高二年级数学试卷参考答案

一、选择题DBDBC CAABD DB

二、填空题 13.3 14.58 15.4 16.

三、解答题

17.解：(1)

.……………………………4分

∴函数
的最大值为
.……………………………………………5分

(2)由题意
,化简得

,
, ∴
, ∴
……………………………7分

在
中,根据余弦定理,得
.

所以

…………………………………………………10分

18、（本小题满分12分） 考查频率分布直方图和概率。

(1)由频率分布直方图知第七组的频率

f7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图． --- 2分

(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：

65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分)． ---------- 5分

----------8分

(3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第一组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，所以从中任意抽取2人，

分差小于10分的概率P＝
＝
。 ------------------- 12分

19.解：(1) ＝5，＝50，iyi＝1 390，＝145，

＝＝7, ＝－＝15，∴线性回归方程为＝7x＋15.

(2)当x＝9时，＝78.

即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．

20.解（1）∵函数
的图象的对称轴为

要使
在区间
上为增函数，

当且仅当
>0且
……………………2分

若
=1则
=－1，

若
=2则
=－1，1

若
=3则
=－1，1，； ………………4分

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为
………………6分

（2）由（1）知当且仅当
且
>0时，

函数
上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

构成所求事件的区域为三角形部分。 ………………8分

由
………………10分

∴所求事件的概率为
………………12分

21. (1)分别取
和
中点
、
，连接
、
、
，则

,

,所以

,

四边形
为平行四边形. -------------2

,又



∥
. - -----4

(2) 由已知得，底面
为正方形，侧棱
⊥底面
,所以
两两垂直．

如图所示，以
为坐标原点,分别以
为
的正方向，建立空间直角坐标系
，所以
,
,所以,
,
,- -------6

设平面
法向量
,

所以
令

所以
为平面
的一个法向量 -------8

设直线
与平面
所成角为
,

于是
.-------------10

所以直线
与平面
所成角为
. -------------12

解法2在平面
内作
∥
,

因为侧棱
⊥底面
,

所以
⊥底面
. -------------6

为
的中点,
,

-------------8

设点
到平面
的距离为