孝感高中2015—2016学年度高二上学期9月调研考试

数学试题

命题人：韩松桥 考试时间：120分钟 分值：150分

一、选择题(每小题5分,共60分)

1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是( )

A．3∶2 B．2∶1 C．5∶3 D．4∶3

2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)

3．在等差数列{an}中，a1=-2 015，其前n项和为Sn.若
=2,则
的值等于( )

A．-2 014 B．-2 015 C．-2 013 D．-2 016

4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，问最小一份为( )

A．
B．
C．
D．

5．水平放置的正方体的六个面分别用“前面,后面,上面,下面,左面,右面”表示, 如图是正方体的表面展开图，若图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，则“孝”“高”“助”分别表示正方体的（ 　）

A．左面，后面，上面

B．后面，上面，左面

C．上面，左面，后面　

D．后面，左面，上面

6．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　)

A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11

7．如图，某人欲测量某建筑物的高度BC，在A处测得建筑物顶端C的仰 角为30°，然后，向建筑物方向前进200 m到达D处，在D处测得C的仰角为75°，则建筑物的高度为(　　)

A．50(＋1) m

B．50(＋1) m

C．50(－1) m

D．50(＋) m

8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且对一切正整数n都有＝，则的值为（ ）。

A． B． C．
D．

9．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．2 B．6

C．3 D．2

10．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)

A． B． C．5 D．6

11．已知O为坐标原点，定点A(3,4)，动点P(x，y)满足约束条件，则向量在上的投影的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

12．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是(　　)

A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．小明的妈妈两次到超市购买大米，她有两种打算，第一种是每次买100元的大米，第二种是每次买100斤大米（两次购买的价格不同），小明的妈妈问小明，哪种方式购买大米合算一些，小明想了想说：“妈妈，第二种方式较合算”。结合你所学的知识判断，小明的说法是 ．（填正确或错误）

14．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线

3x＋y－1＝0平行的直线方程为 ．

15．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ．

16．给出下列结论：

①平面
与平面
相交，它们只有有限个公共点；

②如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；

③四个侧面都全等的四棱柱为正四棱柱；

④底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

其中正确的是 。

三、解答题(共70分)

17．(本题满分10分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝.

（1）求sin2 ＋cos 2A的值；

（2）若b＝2，△ABC的面积S＝4，求a.

18．(本题满分12分)

数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.

19．(本题满分12分)

如图，
是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于

A，B的一点，
．

（1）求证：平面
⊥平面
.

（2）求几何体
的体积V的最大值。

20．(本题满分12分)

某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A、B两种设备每月有效使用工时分别为400时和500时．如何安排生产可使月收入最大？

21．(本题满分12分)

已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，

（1）求a，b的值；

（2）解不等式ax2－(ac＋b)x＋bx<0.

22．(本题满分12分)

如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB=θ，tanθ=t．

（1）用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值；

（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少(平方百米)?

孝感高中2015—2016学年度高二上学期9月调研考试

数学试题参考答案

一 选择题 DBBAB AABAC DB

二 填空题 13. 正确 14. 15x＋5y＋16＝0. 15. 5050 16.⑵

三 解答题

17．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝.

(1)求sin2 ＋cos 2A的值；

(2)若b＝2，△ABC的面积S＝4，求a.

解　(1)sin2 ＋cos 2A＝＋cos 2A

＝＋2cos2 A－1＝. 5分

(2)∵cos A＝，∴sin A＝.

由S△ABC＝bcsin A，得4＝×2c×，解得c＝5.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得

a2＝4＋25－2×2×5×＝17，∴a＝
. 10分

18．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.

解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.

∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2， 2分

∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n. 4分

(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.

当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0； 6分

当n<5时，an>0.

∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)

＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn

＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40， 8分

当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2. 10分

∴Sn＝. 12分

19. 如图，
是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，
．

(1)求证：平面
⊥平面
.

(2)求几何体
的体积V的最大值。

证明
C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径,
. 2分

3分

6分

(2)在Rt
中,设
,

则

10分

当
,即
时,
的最大值为
. 12分

20．(12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A、B两种设备每月有效使用工时分别为400时和500时．如何安排生产可使月收入最大？

解　设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，则， 2分

目标函数是f＝3x＋2y，要求出适当的x，y使f＝3x＋2y取得最大值． 4分

作出可行域，如图．8分

设3x＋2y＝a，a是参数，将它变形为y＝－x＋，

这是斜率为－，随a变化的一族直线．当直线与可行域相交且截距最大时，

目标函数f取得最大值．由得 10分

因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，可得最大收入800千元．12分

21．(12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bx<0.

解　(1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，

则，解得. 5分

(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，

即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 7分

①当c>2时，2

②当c<2时，c

③当c＝2时，原不等式无解． 10分

综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2

当c<2时，原不等式的解集为{x|c

当c＝2时，原不等式的解集为?. 12分

22.如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设∠PAB=θ,tanθ=t.

(1)用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值.

(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少(平方百米)?

解析(1)BP=t,CP=1-t,0≤t≤1,

∠DAQ=45°-θ,DQ=tan(45°-θ)=
, CQ=1-
=
,

∴PQ=
,

∴l=CP+CQ+PQ=1-t+
+
=1-t+1+t=2,

即△CPQ的周长l为定值. 5分

(2)S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=1·1-
·1·t-
·1·
=1-
-
·

=1-
-
·
=1-
-
·(
-1)=1+
-
-
=2-(
+
).

∵1+t>0,

∴S=2-(
+
)≤2-
=2-

(当且仅当
=
,即t=
-1时等号成立). 11分

答:探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2-
)平方百米. 12分

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