2014—2015学年度第二学期第一学段学分认定高二数学（理）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卷和机读卡一并回收。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、单项选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分）.

1.复数
的虚部为（ ）

A． B．-1 C．
D．1

2.已知
（ ）

A．-5 B．-15 C．-3 D．-1

已知向量
则一定是共线的三点是（ ）

A .BCD B .ABC C.ABD D.ACD

4.如图，平行六面体
中，
与
的交点为.设
，则下列向量中与
相等的向量是（）

A．
B．

C．
D．

5.已知平面,
的法向量分别是
，
，若
，则
的值（ ）

A. 8 B．6 C．-10 D．-6

6.已知函数
的值为（ ）

A．10 B．
C．
D．20

曲线
在
处的切线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )

A.1 B.2 C.-2 D.-1

9.已知
，
是
的导函数，即
，
，…，
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
对定义域内的任意都有
=
,且当
时其导函数
满足
若
则（　　）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）.

11.已知复数
???? .

12．已知
为空间的一个基底，且
，
，
,能否以
作为空间的一个基底 （填“能”或“不能”）.

13.已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表,
的导函数
的图象如图所示. 下列关于
的命题：

－1

0

4

5





1

2

2

1





①函数
的极大值点为
，；

②函数
在
上是减函数；

③如果当
时，
的最大值是2，那么的最大值为4；

④函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．

14.已知
在区间（?1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是 ．

15.已知函数
,
,若方程
有三个根，求满足条件的实数k的取值是 ．

解答题（本题共6道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题13分,第6题14分,共75分）

16. （本小题满分12分）设复数
，满足
，且复数
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）若
为纯虚数, 求实数m的值.

17. （本小题满分12分）用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．

18.（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，
平面
，
，
，
．以
，
为邻边作平行四边形
，连接
和
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值.

19. （本小题满分12分）已知函数
，
（为常数），直线与函数
、
的图象都相切，且与函数
图象的切点的横坐标为．

（Ⅰ）求直线的方程及的值；

（Ⅱ）若
[注：
是
的导函数]，求函数
的单调递增区间；

21.(本小题满分14分)已知函数
(为自然对数的底数，
为常数）．对于函数
，若存在常数
，对于任意
，不等式
都成立，则称直线
是函数
的分界线．

（Ⅰ）若
，求
的极值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）设
，试探究函数
与函数
是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.

数学答案

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

单项选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分）.

D 2.B 3.C 4.C 5. D

C 7.A 8.B 9.A 10.B

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）.

1 12. 不能 13. ①②④

15. 1

三、解答题（本题共6道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题13分,第6题14分,共75分）

16. 解：（Ⅰ）由
得：
① ……………………………2分

又复数
＝
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，

则
即
② …………………………………4分

由①②联立的方程组得
或
…………………………5分

∵
∴
………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（1）得

……………………………………………………………8分

=
……………………………………10分

∵
为纯虚数,

∴
…………………………………………………………………………………12分

17.解：设容器底面宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.

由
解得0

设容器的容积为ym3，则有

y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x（0

y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，……………………………………………………………………7分

令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，

解得x＝1，或x＝－(舍去)．…………………………………………………………8分

∵00；1

∴在定义域(0,1.6)内x＝1是唯一的极值点，且是极大值点，

∴当x＝1时，y取得最大值为1.8. ……………………………………………………10分

此时容器的高为3.2－2＝1.2m. …………………………………………………………11分

答：容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3. ………………………………12分

18.（Ⅰ）连结
如下图，……………………………………………………………………1分

是三棱柱

且
，

又四边形
是平行四边形

且

且

∴四边形
为平行四边形，…………………………………………………3分

……………………………………………………………………………4分

又∵
平
，
平面

∴
平面
………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
，四边形
为平行四边形得
，
底面

如图，以为原点建立空间直角坐标系
，………………………………………7分

则
，
，
，
，

，
，
………………………………………8分

设平面
的法向量为
，则

即
，令
，则
，

……………………………………………………………………………10分

……………………………………………………11分

∴直线
与平面
所成角的正弦值为
. ……………………………………12分

19.解：（I）由题意得：与函数y=
图象的切点为（1，

∵切点（1，
在
图象上

∴切点为（1，0）………………………………………………………………………………1分

又∵

∴直线的斜率为：
……………………………………………………………………3分

∴直线的x-y-1=0……………………………………………………………………4分

∵直线与函数y=
的图象相切

∴方程组

只有一个解，即方程

∴△=0，解得
………………………………………………………………………………6分

(II)由（I）得
∴

∴
……………9分

又∵

令

∴函数
的单调递增区间为

………………………………………………12分

21.（Ⅰ）若
，则
，
，…………………1分

由
得
又
得
；
得
，

在
单调递增，在
单调递减；

在
处取得极大值
,无极小值．…………………………………… 3分

（Ⅱ）
，……………………………………………………… 4分

①当
时，由
得

由
得

函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数……………6分

②当
时，
对
恒成立，

此时函数
是区间上的增函数；………………………………………………7分

③当
时，由
得

由
得

函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数．……9分

（Ⅲ）若存在，则
恒成立，

令
，则
，所以
，………………………………………………11分

因此：
对
恒成立，即
对
恒成立，

由
得到
， ………………………………………………………………………12分

现在只要判断
是否恒成立，

设
，则
，

①当
时，

②当
时，
……………………………………………………13分

所以
，即
恒成立，

所以函数
与函数
存在“分界线”，且方程为
………………14分