长泰一中2014/2015学年下学期期中考试高二理科数学B卷

命题人员：戴建雄

一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，合计60分,答案用2B铅笔在机读

答题卡上填涂。)

1.a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　)．

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.函数
的图象如图所示，则导函数
的图象可能是(　　)．

3.在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：

cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ中应用了(　　)

A．分析法 B．综合法

C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法

4.化简的结果是(　　)

A．2＋i B．2－i C．－2＋i D．－2－i

5.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于(　　)

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111

1234×9＋5＝11 111

12 345×9＋6＝111 111

A．1 111 110　　　B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113

6.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，

那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)

A．假设a，b，c至多有一个是偶数 B．假设a，b，c至少有两个是偶数

C．假设a，b，c都是偶数 D．假设a，b，c都不是偶数

7.函数f(x)＝cos2x－2cos2的一个单调增区间是(　　)

A. B. C. D.

8.曲线y＝x2－1与x轴围成图形的面积等于(　　)

A.  B.  C． D. 1

已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x 当x＝b时取到极大值c，

则ad等于(　　)

A．－1 B．0 C．1 D．2

10.若
，则n的值可能是（ ）

A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

11.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与底面半径的比为（ ），才能使材料最省。

A．
B．2 C．
D．3

12.已知函数
若
，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案直接写在答题卷相应位置上。)

13.复数i2(1＋i)的实部是　　▲　　.

14.函数f(x)＝x2－2ln x的最小值为 ▲ ．

15.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是 ▲ ．

16.已知m＞0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，可推广为x＋≥n＋1，

则m的值为 ▲ .

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分） 求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．

18.（本小题满分12分）用数学归纳法证明：

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.

19.（本小题满分12分）设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

20.（本小题满分12分）求椭圆 ＋ ＝1围成的面积．

21.（本小题满分12分） 已知是实数，函数
。

（Ⅰ）若
，求的值及曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值。

22.（本小题满分12分） 已知数列
的首项
，
，
…．

（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

14-15下中高二理科数学B卷参考答案

选择题：（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

B

B

D

A

C

A

A

B

D



 12. D 【解析】当
时，
，有
，此时因为
，所以不等式无解；当
时，
，有
，等价于
解得
，结合前提条件得
；当
时，
，有
，此时因为
，不等式恒成立，故有
；当
时，
，有
，即
，解得
，结合前提条件得
；综上，得
.（也可用特殊值验证法）

填空题：（每题5分，共20分）

13．-1 14．1 15．1＋＋＜2 16．nn 16.解析　x＋＝＋＋，x＋＝＋＋＋，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x＋＝＋＋…＋＋，也满足各项乘积为定值1，于是m＝nn.

解答题（共六个小题，满分74分）

17．解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，∴|z1|＝＝10，|z2|＝ ＝. ……8分

∵10>，∴|z1|>|z2|. ……10分

18．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．……2分

(2)假设当n＝k时，结论成立．

即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·，……4分

那么当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k·(k＋1)

＝(－1)k·

＝(－1)(k＋1)－1·.

即n＝k＋1时结论也成立．

由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立． ……12分

19．解：　函数f(x)的定义域为(0,2)， f′(x)＝－＋a. ……2分

(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．…7分

(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，

即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝. …12分

解：设椭圆＋＝1围成的面积为S，椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1，则由对称性

得S＝4S1， ……2分

在第一象限内椭圆＋＝1的方程可化为y＝，椭圆在第一象限内围成的面积为

S1＝∫0dx＝∫0dx，……5分

而∫0dx表示以5为半径的圆的面积，从而∫0dx＝π×52＝π，……10分

所以S1＝×π＝5π， 从而，S＝20 π. ……12分

21．解： （Ⅰ）
，……1分 因为
，所以
．

又当
时，
，
，

所以曲线
在
处的切线方程为
．……5分

（Ⅱ）令
，解得
，
．

当
，即
时，
在
上单调递增，从而

．

当
，即
时，
在
上单调递减，从而

．

当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，从而

综上所述，
……12分

22．解：（Ⅰ）
，
，

，又
，
，

数列
是以为
首项，
为公比的等比数列．……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，即
，
．

设
…
， ①

则
…
，②

由①②得

…
，

．又
…
．

数列
的前项和
．……12分