福州八中2014—2015学年第二学期期中考试高二数学（文）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.4.16

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如图是水平放置的
的直观图，
轴，
，则
是

A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

2．抛物线
的准线方程是

A．
B．
C．
D．

3.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为
，其余各棱长都为2，则二面角A﹣BD﹣C的大小为

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
是定义在上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①
为偶函数；②
为非奇非偶函数；③
为奇函数；④
为偶函数．其中正确判断的个数有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．一个三棱锥的正视图和俯视图如图

所示，则它的侧视图的面积为

A.
B.

C.
D.

6.若
时，函数
的值有正值也有负值，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．以上都不对

7．如图，三棱柱
中，侧棱
底面
，底面三角形
是正三角形，是
中点，则下列叙述正确的是

A．
与
是异面直线

B．
平面

C．
，
为异面直线，且

D．
平面

8．已知双曲线
的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

9．设
为平面，、、
为直线，则下列哪个条件能推出

A．
，
，
B．
，
，

C．
，
，
D．
，
，

10．如图，三棱柱
的各棱长均为2，侧棱
与底面
所成的角为
，
为锐角，且侧面
⊥底面
，给出下列四个结论：

①
；

②
；

③直线
与平面
所成的角为
；

④
.

其中正确的结论是

A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④

11.函数
， 若
是
的最小值，则的取值范围为

A．

B．
C．
D．

12．如图所示，正方体
的棱长为1,
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
交于
，设
，给出以下四个命题：

（1）平面
平面
；

（2）当且仅当
时，四边形

的面积最小；

（3）四边形
周长
，则
是偶函数；

（4）四棱锥
的体积
为常函数；

以上命题中真命题的个数.

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.已知函数
定义域是
，则
的定义域是

14.已知四面体ABCD的所有棱长均为
，顶点A、B、C在半球的底面内，顶点D在半球球面上，且在半球底面上的射影为半球球心，则此半球的体积是

15.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
为双曲线
右支上一点，且
在以线段
为直径的圆的圆周上，则双曲线
的离心率为 .

16.设
是定义在上的偶函数，且对于
恒有
，已知当
时，
则

（1）
的周期是2；

（2）
在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；

（3）
的最大值是2，最小值是1；

（4）当
时，

其中正确的命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

如图，长方体
中，
，点为棱
上一点．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）若是棱
的中点，求
与平面
所成的角大小．

18. （本小题满分12分）

已知函数
，

（1）当
时，求函数
在
上的值域；

（2）若
，求使函数
的定义域为
，值域为
的的值；

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，侧棱
，且侧棱和底面边长均为2，是
的中点

（1）求证:
；

（2）求证:
；

（3）求三棱锥
的体积

20．（本小题满分12分）

已知定义在
上的偶函数
满足：当
时，

.

（1）求函数
在
上的解析式；

（2）设
,若对于任意
，都有
成立，求实数的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
，侧面
是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面
是
的菱形，
为
的中点．

（Ⅰ） 求证：
；

（Ⅱ） 在棱
上是否存在一点
，使得
四点共面？若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ） 求点到平面
的距离．

22. （本小题满分14分）

已知椭圆
：
的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆
的右焦点，为直线
上纵坐标不为
的任意一点，过作
的垂线交椭圆
于点
，若
平分线段
(其中
为坐标原点)，求的值

稿 纸

福州八中2014—2015学年第二学期期中考试

高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准

1-12 CDBBCA CDBCBD

13．
14．
15．
16．（1）、（3）、（4）

17. （本小题满分12分）

（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．

∵BD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BD∩D1D=D，

∴AC⊥面BDD1B1．∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ． ………………5分

（2）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，

∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角． ……………………………7分

依题意得
，
，在Rt△CPO中，
，∴∠CPO=30°

∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°． …………………………12分

18. （本小题满分12分）(1)
，图象关于
对称

∵
∴
在
上单调减，在
上单调增

∴最小值为
,而
. ∴值域为
. …………4分

（2）当
时，
，
………8分

当
时，
，舍去.

综上所述
……………………12分

19．（本小题满分12分）（1）证明：因为
，又
，

所以

因为
是正三角形，是
的中点，

所以
，又
，

所以
………………………………4分

（2）证明：如图，连接
交
于点
，连接

由题得四边形
为矩形，
为
的中点，

又为
的中点，

所以

因为
，

所以
………………………………8分

（3）解：因为
，

因为
，
，

所以
……………………12分

20．（本小题满分12分）（1）设
,则
，因为
定义
在偶函数，

所以
，因为
，所以

所以
…………………………4分

（2）因为对任意
，都有
成立，

所以
……………………5分

又因为
是定义在
上的偶函数，所以
在区间
和区间
上的值域相同。

当
时
，设
，则
，

函数化为
,则
……………8分

又
………………10分

所以
，所以

故a的取值范围为
…………………12分

21：（本小题满分12分）（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，AC，

依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，

所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC？平面POC，OP？平面POC，

所以AD⊥平面POC，又PC？平面POC，

所以PC⊥AD． ………………………… 4分

（Ⅱ）解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q， M，D四点共面， ………………5分

证明如下：

取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，

在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，

所以A，Q，M，D四点共面． …………………… 7分

（Ⅲ）解：点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，

由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PO？平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．

在Rt△POC中，
，
，

在△PAC中，PA=AC=2，
，边PC上的高AM=
，

所以△PAC的面积
，

设点D到平面PAC的距离为h，

由VD﹣PAC=VP﹣ACD得

，

又
，

所以
，…………11分

解得
，

所以点D到平面PAM的距离为
． …………… 12分

22. （本小题满分14分）（Ⅰ）由已知可得
解得

所以椭圆C的标准方程是
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线
的方程为
，

将直线
的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得
，其判别式

设
则

于是

设
为
的中点，则
点的坐标为
.

因为
，所以直线
的斜率为
，其方程为
.

当
时，
，所以点的坐标为
，

此时直线OT的斜率为
，其方程为
.

将
点的坐标为
代入，

得
.

解得
.