南安一中2014～2015学年度下学期期中考高二数学科试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1．某林场有树苗20000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则样本中松树苗的数量为 （ ）

A．15 B．20 C．25 D．30

2．在某项测量中，测量结果
服从正态分布
，若
在（0，4）内取值的概率为0.6，则
在（0，2）内取值的概率为 （ ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6

3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x

3

4

5

6



加工的时间y

2．5

3

4

4．5





据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0．7，则这组样本数据的回归直线方程是 （ ）

A．
＝0．7x＋0．35 B．
＝0．7x＋1 C．
＝0．7x＋2．05 D．
＝0．7x＋0．45

4．在“南安一中校园歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

A．85和6.8 B．85和1.6 C．86和6.8 D． 86和1.6

5．随机变量ξ～B(100，0.3)，则D(3ξ-5)等于 (????? )

A．62 B．84 C．184 D．189

6．若
的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是(　　)

A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

7．已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下，第2次取到的是黑球的概率为 (　　)

A．
B．
C．
D．

8．将分别写有A，B，C，D，E，F的6张卡片装入3个不同的信封里中．若每个信封装2张，其中写有A，B的卡片装入同一信封，则不同的方法共有 （　　）

A．12种 B．18种 C．36种 D．54种

9．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂

一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ( )A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

10.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0,—1），

B（,—1），C（,1），D（0,1），正弦曲线
和余弦曲线
在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．设，
，为整数（m>0），若和
被除得的余数相同，则称和
对模同余，记为
．若
，
，则
的值可以是( )

A．2015 B．2016 C．2017 D．2018

12．设
，
. 随机变量
取值
、
、
、
、
的概率均为0.2，随机变量
取值
、
、
、
、
的概率也为0.2.若记
、
分别为
、
的方差，则 （ ）

A．
＞
B．
＝

C．
＜
D．
与
的大小关系与
、
、
、
的取值有关

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分

13．已知
，则的值是 ．

14．A , B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有 种（用数字作答）．15．若
，则

的值是

16．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据的总体均值为24，且极差小于或等于4；④丁地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．则肯定进入夏季的地区有 (写出所有正确编号)

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17.（本小题满分12分）设函数
在
时取得极值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间．

18.（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中恰有2个人接受挑战的概率是多少？

（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下
列联表：

接受挑战

不接受挑战

合计



男性

50

10

60



女性

25

15

40



合计

75

25

100





根据表中数据，是否有
％的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？

0.100

0.050

0.010

0.001





2.706

3.841

6.635

10.828





附：

19. 如图，已知抛物线
的焦点在抛物线
上．

（Ⅰ）求抛物线
的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过抛物线
上的动点作抛物线
的两条切线
、
， 切点为
、
．若
、
的斜率乘积为，且
，求
的取值范围．

20．（本小题满分12分）我国对PM2.5采用如下标准：

PM2.5日均值
(微克/立方米)

空气质量等级





一级





二级





超标





某地4月1日至15日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．

（Ⅰ）期间刘先生有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；

（Ⅱ）从所给15天的数据中任意抽取三天数据，记
表示抽到PM2．5监测数据超标的天数，求
的分布列及期望．

21．（本小题满分12分）4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛浙江赛区在杭州宣布正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为
，求
的分布列及数学期望．

（注：频率可以视为相应的概率）

22．（本小题满分14分）在
的展开式中，把
叫做三项式系数．

（Ⅰ）当
时，写出三项式系数
的值；

（Ⅱ）二项式
的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如右图：当
时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；

（Ⅲ）求
的值(可用组合数作答)．

南安一中2014～2015学年度下学期期中考高二数学科参考答案（理科）

一、选择题：BBAADC DBCBBA

二、填空题：

13．
14 . 10 15. 1 16． ①④

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17. （Ⅰ）
当
时取得极值，则

解得：
. …………4分

经检验，符合题意。……………………5分

（Ⅱ）

……6分

令
解得:
令
解得:
……10分

所以
的单调递增区间为
;单调递减区间为
.…………12分

18.解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为
，则
分别表示这3个人不接受挑战．

这3个人参与该项活动的可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
．共有8种； ………2分

其中，恰好有2个人接受挑战的可能结果有：
，
，
，共有3种. …… 4分

根据古典概型的概率公式，所求的概率为
. ………6分

(另解：可用二项分布
)

（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，………… 7分

根据
列联表，得到
的观测值为：

． ………10分

所以没有
％的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”。 ………12分

19．解：（Ⅰ）
的焦点为
，所以
，
.

故
的方程为
，其准线方程为
．………………………4分

（Ⅱ）任取点
，设过点P的
的切线方程为
．………5分

由
，得
．………6分

由
，化简得
，………8分

记
斜率分别为
，则
，

因为
，所以
………………10分

所以，

所以
…………………………12分

20．解：（Ⅰ）记“他这两天此地PM2．5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”

为事件B，
……… 5分

（Ⅱ）
的可能取值为0,1,2,3 ………6分

………10分

其分布列为：

0

1

2

3



P













………12分

21.解：（Ⅰ）
,

,∴
, ……………………… 2分

估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：

……… 4分

（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．

答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ……………… 6分

（Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为
，

X可能的取值是0，1，2，3．

；

；

；

．

的分布列为：

0

1

2

3















 ………………11分

所以
． ……… 12分

（或
，所以
．）.

22．（Ⅰ）因为

，

所以
. …………3分

（Ⅱ）三项式的次系数的数阵表如下：
…………6分

（Ⅲ）

=

其中
系数为
，

又

而二项式
的通项
，

由
解得
所以
系数为

由代数式恒成立，得

=
………14分