南安一中2014～2015学年度高二下期中考数学科试卷（文） 2015.4.29

本试卷考试内容为：集合与简易逻辑，函数与导数.满分１５０分，考试时间１２０分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效.按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4．保持答题纸纸面清洁，不破损.考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．函数
的定义域是 　　　　　　　　　　　　　　（ 　 ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，且
，则集合可能是　　　　　　　　　　　　（ 　 ）

A．
B．
C．
D．

3．下列各组表示同一函数的是 （ 　 ）

A．
与
B．
与

C．
　　　 D．

4．已知函数
，则
　 　 （ 　 ）

A．
B．
C．
D．2

5．命题“
”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　 ）

A.
B.
　　C.
D.

6．若
，则下列不等式正确的是 　　　　　　 （ 　 ）

A．
B．
C．
D．

7．函数

的值域是 （ 　 ）

A．
B．
C．
D．

8．设函数
，则有 （ 　 ）

A．
是奇函数，
　 B．
是奇函数，

C．
是偶函数
　　　 D．
是偶函数，

9. 已知函数
的定义域为
，函数
的图象如图所示，则函数
的图象是（ 　 ）

10．若函数
的递减区间为（
，
），则的取值范围是　　　（ 　 ）

A．
　　　　B．
C．
　　　　D．

11. 若函数
则“
”是“函数
在上单调递减”的（ 　 ）

A．充分而不必要条件 　 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 　 D．既不充分也不必要条件

12．设直线
与函数
的图象分别交于点
，则当
达到最小时的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　 ）

A．1 　　　 B．
　　　　 C．
　　　　 D．

二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.

13．不等式
的解集为 .

14．函数

且
过定点，则点的坐标为 .

15．函数
的图象在点M
处的切线方程是
,
= .

16．已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表,
的导函数
的图象如图所示. 下列关于
的命题：

－1

0

4

5





1

2

2

1



①函数
的极大值点为
，；

②函数
在
上是减函数；

③如果当
时，
的最大值是2，那么的最大值为4；

④当
时，函数
有个零点；

⑤函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知全集
，集合
，
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）判断
奇偶性，并证明；

(Ⅱ)当
时，解不等式
．

19．（本小题满分12分）已知奇函数
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当
时，求
的最小值．

20．（本小题满分12分）已知函数
有极值．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若
在
处取得极值，且当
时，
恒成立，求
的取值范围．

21．（本小题满分12分）第十四届亚洲艺术节将于2015年11月在泉州举行，某商场预测从今年1月起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是
该商品每件的进价q(x)元与月份x的近似关系是
．

（Ⅰ）写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；

(Ⅱ)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？

22．（本小题满分14分）已知函数
(
) ．

(Ⅰ)当
时，求
在区间
上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函数
，在公共定义域上，满足
，那么就称
为
的“受限函数”：

已知函数
，
．若在区间
上，函数
是
的“受限函数”，求的取值范围．

南安一中2014～2015学年度高二下期中考（文科数学）答案

一、选择题：（5×12=60）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

C

D

D

B

B

C

B

D

A

D



二、填空题：（4×4=16）

13．
； 14．
； 15．4； 16．①②⑤；

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵全集
，
，∴
. ……………2分

又∵
……………4分

∴
．…………6分

（Ⅱ）∵
，
，
，

∴
．…………………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：
，定义域为：
―――1分

,
为奇函数―――6分

(Ⅱ)解：当
时，
，即

，解得
，不等式解集为：
―――12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

比较系数得
―――6分

（Ⅱ）
，当
时，
，

在
上单调递增，―――10分 (无证明扣4分，用定义法证明亦可。)

―――12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
，∴
，--------2分

要使
有极值，则方程
有两个实数解，

从而△＝
，∴
． ------------4分

（Ⅱ）∵
在
处取得极值，

∴
，∴
． -----------6分

∴
，∵
，



-1







+

0

_





↗

极大值

↘



∴
时，
在
处取得最大值
， --------10分

∵
时，
恒成立，

∴

，即
，

∴
或
，即
的取值范围是
．------------12分

21．（本小题满分12分）

解：（I）当
； …………1分

当

…4分

验证
，

…………6分

(Ⅱ)该商场预计销售该商品的月利润为

（舍去）……9分

综上5月份的月利润最大是3125元。 …………12分

22．（本小题满分14分）

【解析】（Ⅰ）当
时，
，所以
．…………2分

对于
，有
，所以
在区间
上为增函数，

所以
，
．…………………………………………4分

（Ⅱ）在区间
内，函数
是
的“受限函数”，则
．

设
，
=
，

则
，
在
恒成立，

因为
． (*) ………7分

（1）若
，令
，得极值点
，
，

当
，即
时，在
上有
，

此时
在区间(
，+∞)上是增函数，

并且在该区间上有
，不合题意；……………………………9分

当
，即
时，同理可知，
在区间
内，

有
，也不合题意；……………………………………………11分

（2） 若
，则有
，此时在区间
上恒有
，

从而
在区间
内是减函数；

要使
在此区间上恒成立，只须满足
，得
，

所以
．……………………………………………12分

又因为

，
在
上为减函数，

所以
， 所以
．…………………………………13分

综合可知的范围是
．………………………………………14分