甘肃兰州一中2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)

1. 有一段“三段论”推理是这样的：

对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点，

因为函数
在
处的导数值
，

所以，
是函数
的极值点.

以上推理中 （ ）

A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

2. 设函数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．若关于的方程
在[0, 2]上有根，则实数的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5. 若当n→+∞时，
无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为 （ ）

A．
B．
C．
D．
　　　　　　

6. 已知函数
，在区间
（
）上存在极值，则实数a的取值范围是 （ ）　

A.( 0,1) B.(
，1) C.(
，1) D.(
, 1)

7. 已知z(C，且|z|=1，则|z-2-2i|（i为虚数单位）的最小值是 （ ）

A．2
-1 B. 2
+1 C.
D. 2

8. 平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

9. 函数y=x+cosx的大致图象是(图中虚线是直线y=x ) （ ）

10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ）

A．12 B. 10 C. 8 D. 6

11．曲线y=x2-lnx上任意一点P到直线y=x-2的距离的最小值是 （ ）

A． １ 　　 B.
　 C. ２ 　 D.

12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1, f '(x)为f(x)的导函数，已知y=f '(x)的图象如右图所示，若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则
的取值范围是 （ ）

A. (- ∞, -3) B. (- ∞,
)∪(3,+∞)

C.(
，3) D. (
,
)

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ．

14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：

请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ．

15. 设
是连续函数，且
，则f(x)= ．

16．函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax (a<0) 在区间（-∞，
）内单调递减，则a的取值范围是 ．

三、解答题(本大题共4小题，共36分)

17．(本小题满分8分) 已知抛物线C：y=-x2+4x-3 .

（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；

（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.

18. (本小题满分8分) 已知函数
.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）已知a、b∈R,a>b>e, (其中e是自然对数的底数), 求证:ba >ab.

19．（本小题8分）已知数列
的前项和
．

（1）计算
，
，
，
；

（2）猜想
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

20．（本小题满分12分）已知f(x)=ax2(a∈R), g(x)=2lnx.

（1）讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性；

（2）是否存在实数a，使得f(x)≥g(x)+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a的取值范围;

（3）若方程f(x)=g(x)在区间
上有两个不相等的实数根，求a的取值范围.

兰州一中2014-2015-2学期期中考试参考答案

高二数学（理）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

B

C

B

D

A

C

B

C

A

C



一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．-2i． 14．20201． 15.
． 16．(－∞，－1]．

三、解答题(本大题共4小题，共36分)

17．(本小题满分8分)

解：(1)
，
，

所以过点A（0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是

，

两条切线的交点是（
），………………4分

(2)围成的区域如图所示：区域被直线
分成了两部分，分别计算再相加，得：

即所求区域的面积是
. ………………8分

18. (本小题满分8分)

解：（1）
, ∴

∴当
时,
,∴函数
在
上是单调递减.

当0

∴f(x)的增区间是(0,e),减区间是
. ………………4分

(2)证明:∵

∴要证:

只要证:

只要证
.(∵
)

由（1）得函数
在
上是单调递减.

∴当
时,有
即
.

∴
………………8分

19．（本小题8分）

解：（1）依题设可得
，
，

，
； ………………………3分

（2）猜想：
．………………………4分

证明：①当
时，猜想显然成立．………………………5分

②假设
时，猜想成立，即
．…………………6分

那么，当
时，
，

即
．

又
，

所以
，

从而
．

即
时，猜想也成立． ………………………7分

故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分

20.（本小题满分12分）

解：（1）

（i）当a>0时，由ax2-1>0得
,

由ax2-1<0得
.

故当a>0时，F(x)的递增区间为
，

递减区间为
.

（ii）当
恒成立

故当
上单调递减. ………………………4分

（2）即使
时恒成立.

（i）当a≤0时，由（1）知当

∴
时不可能恒成立.，

（ii）当a>0时，由（1）可知

即可 ,

故存在这样的a的值，使得

a的取值范围是[e,+∞] ………………………8分

（3）等价于方程
在区间
上有两个不等解，

∵

在区间
上为增函数，在
上为减函数，

∴
，

，

a的取值范围是
………………………12分