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| 简介：
甘肃兰州一中2014—2015学年度下学期期中考试高二数学文试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡). 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是 （ C ） A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．正方体 2．有一段“三段论”推理是这样的： 因为指数函数且在上是增函数，是指数函数，所以在上是增函数.以上推理中 （ A ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 3．函数的导数为 （ B ） A． B． C． D． 4．观察下列等式，，，根据上述规律， （ C ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，且满足，则等于 （ B ） A． B．-1 C．1 D． 6．曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 （ D ） A． B． C． D． 7．如果圆柱轴截面的周长为定值，则其体积的最大值为 （ A ） A． ( B．( C．( D．( 8．已知函数在区间（）上存在极值，则实数a的取值范围是 （ D ） A． B． C． D． 9．函数的大致图象是(图中虚线是直线) （ B ） A B C D 10．定义在R上的函数满足,为的导函数，已知的图象如右图所示，若两个正数满足,则的取值范围是 （ C ） A． (-∞, -3) B．(-∞, )∪(3,+∞) C． D． 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11．用反证法证明命题“若，则或”时,应假设 12．函数在处的导数是 13．曲线在点处的切线方程为2x＋y－1＝0． 14．函数在区间内单调递减， 则的取值范围是 (－∞，－1]． 三、解答题(本大题共5小题，共44分) 15．(本小题8分)全国人民代表大会在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作．调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语． （1）根据以上数据完成以下列联表： 会俄语 不会俄语 总计 男 10 6 16 女 6 8 14 总计 16 14 30 解： （2）能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 解：假设：是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得 . 所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关 16．(本小题8分)已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在的最值. 解：(1) 由，可得.由题设可得 即.解得,.所以． 由题意得 所以. 令，得，. 当变化时，，变化情况如下表： 单调递增 4/27 单调递减 0 单调递增 所以函数的单调递增区间为,. （２）因为在时函数有极小值为0.在时函数有极大值． 又， 所以函数的最大值为2，最小值为0. 17．(本小题8分)机器按照模具生产的产品也会有缺陷，我们将有缺陷的产品称为次品，每小时出现的次品数随机器运转速度的不同而变化．下表为某机器生产过程的数据： 速度x（百转/秒） 2 4 5 6 8 每小时生产次品数y（个） 30 40 50 60 70 （1）求机器运转速度与每小时生产的次品数之间的回归方程； （2）若实际生产所允许的每小时生产的次品数不超过75件，那么机器的速度（百转/秒）不超过多少？（写出满足题目的整数解） 解：（1） ，， ， ∴，， ∴回归直线方程为. （2）若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过75件，则． 即 解得 ∴实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过75件，那么机器的速每秒不超过8百转 18．(本小题10分)若函数，当时，函数有极值． （1）求函数的解析式； （2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围． 解：f′(x)＝3ax2－b. (1)由题意得f′(2)＝0 f(x)＝ 解得故f(x)＝x3－4x＋4. (2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) － 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值， 当x＝2时，f(x)有极小值－， 所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示 ． 若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点， 所以 － 19．(本小题10分)已知, ． （1）讨论函数的单调性； （2）是否存在实数，使得≥恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出的取值范围； （3）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围． 解：（1） （i）当a>0时，由ax2-1>0得 , 由ax2-1<0得 . 故当a>0时，F(x)的递增区间为，递减区间为. （ii）当恒成立故当上单调递减. （2）即使时恒成立. （i）当a≤0时，由（1）知当 ∴时不可能恒成立.， （ii）当a>0时，由（1）可知 即可 , 故存在这样的a的值，使得 a的取值范围是[e,+∞] （3）等价于方程在区间上有两个不等解， ∵ 在区间上为增函数，在上为减函数，， ， 所以 a的取值范围是 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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