甘肃省高台县第一中学2015年春学期期中考试 高二数学(理)试卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1.设全集
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知是虚数单位，
,则“
”是“
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 若
，若
2，则
( )

A.
B.
C.
D.

4. 设P（1，
）是曲线C：
上的一点，则曲线C过点P的切线方程是（ ）

A．
B.

C.
D.

5. 设
是函数
的导函数，
的图像如图所示，

则
的图象可能是（ ）

6. 设函数
，则（ ）

A．
为
的极大值点 B.
为
的极小值点

C．
为
的极大值点 D.
为
的极小值点

7. 现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，若需1名老师和1名学生参加，则不同的选法种数为（ ）

A．39种 B. 24种 C. 15种 D. 16种

8.
的展开式中的常数项为（ ）

A．6 B. -6 C. 24 D. -24

9. 观察下列各式：

则
( )

A. 28 B. 76 C. 123 D. 199

10. 已知，P(A)=0.3，P(B|A)=0.4，P(A|B)=0.2，则P(A+B)=（ ）

（其中P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)）

A. 0.90 B. 0.78 C. 0.60 D. 0.40

11. 设某产品合格率为
，不合格率为
，现对该产品进行测试，设第X次首次测得正品，则P（
）=（ ）

A．
B.

C.
D.

12. 用数学归纳法证明：

时，在第二步证明从
到
成立时，左边增加的项数是（ ）

A．1项 B. 2项 C. 3项 D. 4项

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ．

14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：

请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ．

15. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．

16．函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax (a<0) 在区间（-∞，
）内单调递减，则a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分) 已知抛物线C：y=-x2+4x-3 .

（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；

（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.

18. (本小题满分12分) 已知函数
.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）已知a、b∈R,a>b>e, (其中e是自然对数的底数), 求证:ba >ab.

19．（本小题12分）已知数列
的前项和
．

（1）计算
，
，
，
；

（2）猜想
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

20．（本小题满分12分）已知函数
，
．

时，证明：
；

，若
，求的取值范围．

21．（本小题12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

22．（本小题12分）过曲线
上一点，然后再过
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴的垂线交曲线
于点
的垂线交曲线
于点
，
，以此类推，过点
的切线
与轴相交于点
，再过点
作轴的垂线交曲线
于点
（
N
）．

(1) 求
及数列
的通项公式；

(2) 设曲线
与切线
及直线
所围成的图形面积为
，求
的表达式；

(3) 在满足(2)的条件下, 若数列
的前项和为
，求证：

高二数学（理）期中考试参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1-12 BADBB DACCB CB

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．-2i． 14．20201． 15.60 16．(－∞，－1]．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(本小题满分10分)

解：(1)
，
，

所以过点A（0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是

，

两条切线的交点是（
），………………5分

(2)围成的区域如图所示：区域被直线
分成了两部分，分别计算再相加，得：

即所求区域的面积是
. ………………10分

18. (本小题满分8分)

解：（1）
, ∴

∴当
时,
,∴函数
在
上是单调递减.

当0

∴f(x)的增区间是(0,e),减区间是
. ………………6分

(2)证明:∵

∴要证:
只要证:

只要证
.(∵
)

由（1）得函数
在
上是单调递减.

∴当
时,有
即
.

∴
………………12分

19．（本小题12分）

解：（1）依题设可得
，
，

，
； ………………………3分

（2）猜想：
．………………………4分

证明：①当
时，猜想显然成立．………………………6分

②假设
时，猜想成立，即
．…………………8分

那么，当
时，
，

即
．

又
，

所以
，

从而
．

即
时，猜想也成立． ………………………10分

故由①和②，可知猜想成立． ………………………12分

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）令p(x)＝f?(x)＝ex－x－1，p?(x)＝ex－1，

在(－1，0)内，p?(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p?(x) ＞0，p(x)单增．

所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f?(x)≥0，

所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0． …4分

（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h?(x)＝－e－x－a，

令q(x)＝－e－x－a，q?(x)＝－．

由（Ⅰ）得q?(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减． …6分

（1）当a＝1时，q(0)＝h?(0)＝0且h(0)＝0．

在(－1，0)上h?(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减，

所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立． …7分

（2）当a＞1时，h?(0)＜0，

x∈(－1，0)时，h?(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．

即x∈(，0)时h?(x)＜0，h(x)单调递减，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分

（3）当0＜a＜1时，h?(0)＞0，

x∈(0，＋∞)时，h?(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．

即x∈(0， )时h?(x)＞0，h(x)单调递增，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分

综上，a的取值为1． …12分

21.解：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，

则
………4分

依题意，
的可能取值为0,1,2．

左手所取的两球颜色相同的概率为
………6分

右手所取的两球颜色相同的概率为
………7分

………10分

X

0

1

2



P









所以X的分布列为：

………12分

22、(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

(1) 解: 由
，设直线
的斜率为
，则
.

∴直线
的方程为
.令
，得
， ……2分

∴
， ∴
.∴
.

∴直线
的方程为
.令
，得
. ……4分

一般地，直线
的方程为
，

由于点
在直线
上，∴
.

∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列.∴
. ……6分

（2）解：

. ……8分

……10分

（3）证明：
，
.

要证明
，只要证明
，即只要证明
.

……11分

证法1：（数学归纳法）

当
时，显然
成立；

假设
时，
成立，

则当
时，
，

而
.

∴
.∴
.

这说明，
时，不等式也成立.

由①②知不等式
对一切
N
都成立. ……12分

证法2:

.

∴不等式
对一切
N
都成立. ……12分

证法3:令
,则
,

当
时,

,

∴函数
在
上单调递增.∴当
时,
.

∵
N
,∴
, 即
.

∴
.∴不等式
对一切
N
都成立