2015年春季安溪八中高二年期中质量检测数学试题（理）

一、选择题 ：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．是虚数单位，复数
在复平面上的对应点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是

A．
B．
C．
D．

3. 某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有

A．24种　B．52种C．10种 D．7种

4．小王通过英语听力测试的概率是
，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是

A．
B．
C．
D．

5．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点，因为函数
在
处的导数值
，所以，
是函数
的极值点.以上推理中

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

6．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为

A．85 B．56 C．49 D．28

7．设
的展开式的各项系数之和为
，二项式系数之和为
，若
，则展开式中常数项为

A．5 B．1 5 C．10 D．20

8．若函数
有大于零的极值点，则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

9. 函数
的图像如图所示，
是
的导函数，则下列式子中成立的是

A．
B．

C．
D．

10．对任意复数ω1,ω2,定义ω1ω2=ω1
,其中
是ω2的共轭复数.

对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:

(z1+z2) z3=(z1z3)+(z2z3); ②(z1z2) z3=z1 (z2z3); ③z1z2=z2z1;.

则真命题的个数是　

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. 设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为
，若对任意的
总有
满足
则这样的排列共有

A．36 B．32 C． 28 D．20

12. 设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
，当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数
的“类对称点”，则
的“类对称点”的横坐标是

A．1 B．
C．e D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．

13．随机变量ξ服从正态分布
，已知
，则
.

14．
=

15．随机变量ξ的分布列为
，其中为常数则
= .

16．定义
表示所有满足
的集合
组成的有序集合对
的个数．试探究
,
，并归纳推得
=_________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在10件产品中，有8件合格品，2件次品．从这10件产品中任意抽取2件，试求：

（Ⅰ）取到的次品数X的分布列；

（Ⅱ）至少取到1件次品的概率．

18. （本题满分12 分）

已知函数
，函数

（1）求
的单调区间；

（2）求函数
与函数
的曲线所围成封闭图形的面积？

19. （本题满分12分）

数列{an}满足Sn＝2n+2an(n∈N*)．

(1)计算a1、a2、a3，

（2）有同学猜想an
；请根据你的计算确定的值，并用数学归纳法证明。

20. （本题满分12 分）

21．（本题满分13 分）

在
的展开式中，把
叫做三项式的次系数列．

（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：

三项式的2次系数列是　_________　；

三项式的3次系数列是　_________　．

（Ⅱ）二项式
的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下

①当
时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；

②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：
，类似的请用三项式的次系数表示
（无须证明）；

（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示
．

22. （本题满分13 分）

已知函数
.

（I）当
时，求
在点
处的切线方程；

（II）当
时，设函数
，且函数
有且仅有一个零点，若
，
，求的取值范围.

2015年春季安溪八中高二年期中质量检测

数学试题（理） 参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

B

A

A

A

C

B

B

D

B

B

B



13: 0.7 14:
15:
16：

；
；

所以取到的次品数的分布列为：

（Ⅱ）至少取到1件次品的概率为
．

18、解：∵

∴
…………………………1分

令
>0,解得：

令
<0,解得：
…………………………4分

∴
的单调增区间为
，

的单调减区间为
…………………………6分

（2）令

解得：x=0,x=3 …………………………7分

由定积分的几何意义，知：函数
与函数g(x)的曲线所围成的面积为：

＝

19. 解：　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2+2a1，∴a1＝－2 ……………………1分

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2+2a2，∴ a2＝－6 ……………………2分

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3+2a3，∴a3＝－14 ……………………3分

当n＝4时，a1＋a2＋a3+
＝S4＝2×4+2a4，∴a4＝－30 ……………………4分

（2）＝n+1,由此猜想an＝
(n∈N*) ………………7分

证明：①当n＝1时，a1＝－2，结论成立， ……………………8分

②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，猜想成立，

即ak＝
成立， 当n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)+2ak＋1－2k－2ak＝2－2ak+2ak＋1，

∴ak＋1＝－2＋2ak＝－2+2（
）＝2－

即，当n＝k＋1时，猜想成立， ……………………12分

根据，①和②对于一切的自然数n∈N*，猜想成立． ……………………14分

20

21

22.解：（1）当
时，
,定义域为
，

…………………2分

，又

在
处的切线方程
……………4分

（2）令
则
即

令
， …………………5分

则
…………………6分

令
,
，
，
在
上是减函数，又
，所以当
时，
，当
时，
，

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
.………8分

因为
， 所以当函数
有且仅有一个零点时，
.

当
，
，若
只需证明

…………………9分

，令
得
或
，又
，

函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，10分

又
，

即
，

………12分