宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学试卷

（满分：150分 时间：120分钟）

命题人：金新雄 张沪博 黄传杰 刘荣坤

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷 （非选择题）

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复平面上表示复数
(为虚数单位)的点在

A．第一象限　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.

A．
B． 0 C．
D．1

3．已知函数
,则其在点
处的切线的斜率是

A． 1 B． 2 C．
D．

4．一个物体的运动方程为
，则它在
时的速度为

A．
B．
C．
D．

5. 用反证法证明命题：“若
则
”时，反设正确的是

A．
B．
C．
D．

6.由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为

A．
B． C．
D．

7. 若
在
上单调递减，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8.下面使用类比推理正确的是

A．若直线
,则
．类比推出：若向量
，则

B．
．类比推出：

C．已知
，若方程
有实数根，则
．类比推出：已知
，若方程
有实数根，则

D．长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．

9.已知函数
的图象如右图所示(其中
是函数
的导函数),下面四个图象中,
的图象可能是

A ． B． C． D．

10. 设点在直线
上,点
在曲线
上,则
最小值为

A．
B．
C．
D．

11. 已知
，现有下列不等式：

①
；②
；③
；④
．

其中正确的是

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

12. 已知定义在
上的函数
,在
处的切线斜率均为
.有以下命题:①
是奇函数;②若
在
内递减,则
的最大值为4；③若方程
有三个根，则的取值范围是
；④若对
恒成立,则k的最大值为. 其中正确命题的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷 （非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13.已知复数
(为虚数单位)为纯虚数，则实数= .

14. 已知函数
，则
= .

15.
.

16.已知
. 有个同学用以下方法求
，

令
,得
；由
，令
,得
，

由
，令
,得
，

依此类推，我们可得
.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知复数
，若
.

（I）求
；

（II）求实数
的值.

18．（本小题满分12分）

已知数列
，
，
，
．

（I）求
，
，
的值；

（II）猜想
的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

19.（本小题满分12分）

已知函数

（I）当
时，求函数
的单调区间；

（II）求
的极值.

20. （本小题满分12分）

函数
的图象在点
处的切线方程为
.

（I）求，的值；

（II）
，若
时，
，且存在
使得
，求复数
在复平面上对应的点构成的区域面积.

21. （本小题满分12分）

宁德至福州铁路里程约为
，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度（米/分钟）关于时间（分钟）满足函数关系：
，且
，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶
至终点（福州站）.

（I）求：前2分钟速度
的函数关系式；

（II）求动车运行过程中速度的最大值.

22. （本小题满分14分）

设
，

（I）

（i）求
的表达式；

（ii）令
,证明：函数
恰有一个零点；

（II）求证：

宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试

高二理科数学试卷参考答案

一．选择题

1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.D 9.B 10.A 11.C 12.B

二．填空题

13.
14. 0 15.
16.

三．解答题

17.解：（I）
. ………………………4分

所以
……………………………6分

（II）把
代入
，

即
，

得
. ……………………………9分

所以
，解得
. ……………………………11分

所以实数
的值分别为
，
. ……………………………12分

18. 解：（I）
，且

，
，

； ………………………………6分

（II）由（1）猜想
，下面用数学归纳法进行证明.

①当
时，
，满足要求，猜想成立； …………………8分

②假设
时，猜想成立，即
, ………………8分

那么当
时，

，

这就表明当
时，猜想成立， ………………………………11分

根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即
.………12分

19.解（I）当
时，
，定义域为
， …………………………1分

由
，可解得
， …………………………3分

，可解得
…………………………4分

所以函数
的单调递减区间为
；单调递增区间
； ……………………5分

（II）由
可得
，
， ……………………6分

当
时，
当
时恒成立；

此时，函数
在
上单调递增，所以无极值. ……………………8分

当
时，令
可得
； ……………………9分

当
时，
，当
时，
……………………10分

所以
是函数
的极小值点，极小值为
； ……………………11分

综上所述，当
时函数
无极值. 当
时函数
有极小值
，无极大值. ……………………12分

（注:要指明函数无极大值，否则扣1分）

20.解（I）
，
，

依题意
，
，
……………4分

（II）由（I）可得
，
，令
解得
，
（舍去）， ……………6分

当变化时，
，
的变化如下表：









1











+









↘

极小值

↗

3



由上表可得，
，
……………8分

所以
.所以
在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，
为半径的圆的外部，
为半径的圆的内部（包括圆周），所以所求的区域面积为
……………………12分

21.解:（I）

……………………1分

又
,

, ……………3分

前2分钟运行的路程为
. ……………5分

依题意得:

即
,解得

……………8分

（II）