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2014~2015学年度下学期高二期中考试卷理 科 数 学 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i为虚数单位，则i2015＝( ) A．1 B．－1 C．i D．－i 2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( ) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 3．设f (x)＝10x＋lg x，则f ′(1)等于( ) A．10 B．10ln10＋ C.＋ln10 D．11ln10 4．函数f (x)＝sinx＋cosx在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0 5．函数f (x)＝－ 的单调递减区间是( ) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(－∞，e) D．(0，e) 6．已知函数y＝f (x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f (x)( ) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 7．函数f (x)＝aln x＋x在x＝1处取得极值，则a的值为( ) A. B．－1 C．0 D．－ 8．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m取值范围是( ) A．m＞3 B．m≥ C．m＜ D．m＜0 9．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[0,2] C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 10．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2x f ′(1)＋lnx，则f ′(1)＝( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 11．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：(1)(n＋1)*1＝n*1＋1，(2)1*1＝1，则 3*1＝( ) A．3 B．4 C．2 D．1 12.设f (x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有( ) A．f(x)g(x)＞f(b)g(b) B．f(x)g(a)＞f(a)g(x) C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a) 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，) 13.复数＝ . 14.已知函数f (x)＝e－x，则f ′(0)＝________． 15.如图为函数y＝f (x) 的图象，f ′(x)为函数f (x)的导函数，则不等式x?f ′(x)＜0的解集 为_ ___． 16.电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－20x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 17. 若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a，b，c从小到大的顺序为__________ 18.已知＝2?，＝3?，＝4?，…. 类比以上等式， 若＝8? (a，b均为正实数)，可推测a，b的值，则a＋b＝__________. 三、解答题（共60分） 19(本小题14分)． 已知复数z1＝2－3i，z2＝，求(1)z1·z2； (2). 20(本小题14分)． 已知函数f (x)＝ax3＋cx(a≠0)定义域为R，当x＝1时，f (x)取得极值－2. (1)求a、c的值和 f (x)的单调区间； (2)证明对任意x1，x2∈[－1,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤4恒成立． 21(本小题满分16分)． 设正数数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an＋)。 (1)试求a1、a2、a3； (2)猜想通项an，并用数学归纳法证明你的结论． 22(本小题满分16分) 已知函数f(x)＝(x－k)2e. (1)求f(x)的单调区间； (2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
2014～2015学年度下学期高二期中考试 数学（理科）答案与评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B A D C B B A B A C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 13．－1＋i 14．－1 15．(－∞，－)∪(0，) 16．20 17．c＜a＜b 18．71 三、解答题：本大题共5小题，共60分． 19．（本小题满分14分） 解： ∵z2＝＝＝＝＝1－3i. 4分 (1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i＝－7－9i； 9分 (2)＝＝＝＝＋i. 14分 20. （本小题满分14分） 解： (1)f ′ (x)＝3ax2＋c. 1分 由条件f(1)＝－2为f (x)的极值，必有f ′ (1)＝0. 3分 故解得a＝1，c＝－3. 5分 因此f (x)＝x3－3x， f ′ (x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， ∴f ′ (－1)＝f ′ (1)＝0. 6分 当x∈(－∞，－1)时，f ′ (x) >0，故f(x)在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x∈(－1,1)时，f ′ (x) <0，故f(x)在区间(－1,1)上是减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f ′ (x) >0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数． 8分 综上述，f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞) 上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数.。 10分 (2)由(1)知，f (x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，且f (x)在[－1,1]上的最大值M＝f (－1)＝2，f(x)在 [－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2. 12分 ∴对任意的x1，x2∈(－1,1)，恒有|f(x1)－f(x2)| 21. （本小题满分16分） 解：(1)依题意，an>0 当n＝1时，a1＝(a1＋)，∴a1＝1. 2分 当n＝2时，a1＋a2＝(a2＋)，∴a2＝－1． 4分 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝(a3＋)，∴a3＝－. 6分 (2)猜想：an＝－(n∈N+) 8分 用数学归纳法证明如下： (1)当n＝1时，已证． 9分 假设n＝k时，猜想成立，即ak＝－， 10分 则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)， 12分 即ak＋1－＝－(ak＋)＝－(－＋)＝－2. 13分 ∴ak＋1＝－. 14分 由(1)、(2)可知，对n∈N*，an＝－. 16分 22. （本小题满分16分） 解：(1)f ′ (x)＝(x2－k2)e. 2分 令f ′ (x)＝0，得x＝±k. 4分 当k>0时，f(x)与f ′ (x)的变化情况如下： x (－∞，－k) －k (－k，k) k (k，＋∞) f ′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 4k2e－1 递减 0 递增 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)． 6分 当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下： x (－∞，k) k (k，－k) －k (－k，＋∞) f ′ (x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减 0 递增 4k2e－1 递减 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)． 8分 (2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤. 10分 当k<0时，由(1)知f(x)在(0，－k )上递增，在(－k，＋∞)上递减 ∴f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝. 12分 所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤，解得－≤k<0. 14分 故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0). 16分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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