福州八中2014—2015学年第二学期期中考试高二数学（理）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.4.16

第I卷（共100分）

一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）

1.有5名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，那么互不相同的安排方法的种数为

A．10 B．20 C．30 D．40

2. 已知
，且
，则
等于

A.0.1 B.0.2 C.0.3 D. 0.4

3.若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)的值为

A．3·2－2　 B．3·2－10 C．2－4 D．2－8

4.三江口校区安排A， B， C， D， E五位同学住同一间宿舍，每个人只分配一个床位且床位编号分别为1，2，3，4和5 号，如果B不排1号和5号床位，则不同的安排法共有（ ）种.

A．36 B．8 C．60 D．72

5. 设(x－)6的展开式中的常数为M，所有二项式系数和为N，则
＝

A．304 B．-304 C．136 D．－136

6.将
个大小形状完全相同但颜色不同的小球放入3个盒子中，恰有一个盒子是空的概率是

A．
B．
C．
D．

7.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1件的概率是

A. B. C. D.

8. 设(x＋3)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a11(x＋3)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为

A．1 B．2 C．
D．

9.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（ ）种．

A.45 B.60

C. 120 D.180

10.某人练习射击，共有5发子弹，每次击中目标的概率为0.6，若他只需要在五次射击中四次击中目标就算合格，一旦合格即停止练习。则他在第五次射击结束时恰好合格的概率为

A．
B．

C．
D．

二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）

11.图是三个正态分布X～N(0，0.01)，Y～N(0，1)，Z～N(0，2.25)的密度曲线，则三个随机变量X， Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.

12．袋中装有标号为1、2、3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次.若抽到各球的机会均等，事件A=“三次抽到的号码之和为6”，事件 B=“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)=______________ .

13. 随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝
，k＝1,2,3,
4，其中c是常数，则P(

14.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 _________
_________种（用数字作答）

三、解答题：（3小题，共30分）

15. （本小题10分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率作用的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验
结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：

60分以下

61-70分

71-80分

81-90分

91-100分



甲班（人数）

3

6

11

18

12



乙班（人数）

4

8

13

15

10



现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀．

（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率；

（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．

参考公式及临界值表如下：k2=

P（k2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





优秀人数

非优秀人数

合计



甲班









乙班









合计











16．（本小题10分）

如图，假设从福州金山到火车南站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．

17. （本小题10分）

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．下图是一个11
阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第19个数；

（2）设第
行中所有数和为A，
阶（包括
阶）杨辉三角中的所有数的和为B，且A+B＝95，求n的值；

（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现
，事实上，一般地有这样的结论：第
斜列中（从右上到左下）前
个数之和，一定等于第
斜列中第
个数．试用含有
，

的数学式子表示上述结论，并证明之．

第Ⅱ卷（共50分）

一、选择题：（3个小题，每小试题5分，共15分）

18. 在二项式
的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为

A．
B．
C．
D．

19. 为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题。 被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答，结果被调查者的300人（学号从1到300）中有90人回答了“是”，由此可以估计在这300人中闯过红灯的人数是

A．15 B．30 C．45 D．75

20.将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇
和数有（　　）个。

A．100 B．120 C．160 D．200

二、解答题：（3个小题，共35分）

21. （本小
题11分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。






（Ⅰ）已知甲、乙两种产
品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，
最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

22. （本小题12分）

已知函数f(x)＝aln x＋1(a>0)．

(1)求函数φ(x)＝f(x)－a的单调区间；

(2)在区间(1，e)上f(x)>x恒成立，求实数a的范围．

23. （本小题12分）

已知焦点在x轴上的椭圆C为＋＝1，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点Q的坐标为(1，0)，椭圆上是否存在一点P，使得直线PF1，PF2都与以Q为圆心的一个圆相切？若存在，求出P点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．

稿 纸

福州八中2014—2015学年第二学期期中考试

高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准

第I卷（共100分）

一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）

1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.A 9.D 10.D

二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）

11.①　②　③ 12.
13.
14.144

三、解答题：（3小题，共30分）

15.【解析】（本小题10分）（1）由题意，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为
=60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为
=50%，

∴甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．…………4分

（2）根据题意做出列联表

优秀人数

非优秀人数

合计



甲班

30

20

50



乙班

25

25

50



合计

55

45

100



∵K2=
=
≈1.010，……………………9分

∴由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．……………………10分

16. 【解析】（本小题10分）

(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.

用频率估计相应的概率可得

P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，

∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；……………………2分

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.…………………………4分

(2)用A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝
0.9，又由题意知，A，B独立，X可取0，1，2.

P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.

17.【解析】（本小题10分）（1）
＝
………………2分

（2）由条件知，A＝
，B＝
…………4分

由A+B＝95，得
，所以，n=5.……………………6分

（3）

证明：左边

右边.……………………10分

第Ⅱ卷（共50分）

一、选择题：（3个小题，每小试题5分，共15分）

18. D

19. A

20. A

二、解答题：（3个小题，共35分）

21.【解析】（本小题11分）（Ⅰ）解：

………………2分

（Ⅱ）解：随机变量
、
的分别列是：



………6分

（Ⅲ）解：由题设知
目标函数为

………………8分

作出可行域（如图）：作直线

将l向右上方平移至l1位置
时，
直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时

取最大值. 解方程组
得

即
时，z取最大值，z的最大值为25.2
. …………11分

22.【解析】（本小题12分）(1)由φ(x)＝f(x)－a (x>0)，知φ′(x)＝－.……2分

由φ′(x)≥0，得x≥1，由φ′(x)≤0，得00，所以，函数的单调递增区间为
；递减区间为
.……………………
4分

(2)由f(x)>x得aln x＋1>x，即a>.…………………………5分

令g(x)＝(1

令h(x)＝ln x－(1

则h′(x)＝－>0，故h(x)在定义域上单调递增，所以h(x)>h(1)＝0.………9分

因为h(x)>0，所以g′(x)>0，即g(x)在定义域上单调递增，

则g(x)

所以a的取值范围为[e－1，＋∞)．……………………12分

23. （本小题12分）解：(1)由题可知：解得

所以b2＝a2－c2＝4.

故椭圆C的方程为＋＝1.………………4分

(2)假设椭圆上存在一点P(x0，y0)，使得直线PF1，PF2都与以Q为圆心的一个圆相切，则Q到直线PF1，PF2的距离相等．

∵F1(－2，0)，F2(2，0)，

∴直线PF1的方程为(x0＋2)y－y0x－2y0＝0，

直线PF2的方程为(x0－2)y－y0x＋2y0＝0.…………………………6分

∴＝，

化简整理得：x－5x0＋4＋y＝0.……………………9分

∵点P在椭圆上，∴x＋2y＝8.

由以上两式解得：x0＝2或x0＝8(舍去)，

∴y0＝或y0＝－，此时相切的圆的半径r＝1.………………………………11分

∴椭圆上存在点P，其坐标为(2，)或(2，－)，使得直线PF1，PF2都与以Q为圆心的圆(x－1)2＋y2＝1相切．…………………………12分