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程溪中学2014-2015学年下学期中考高二数学(理科)试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设复数的共轭复数是,z＝3＋i，则等于( ) A．3＋i B．3－i C.i＋ D.＋i 2．若a∈{1,2,3,5}，b∈{1,2,3,5}，则方程y＝x表示的不同直线条数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 ( ) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 4．已知，那么n的值是 （ ） （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 5．函数的单调递减区间是 （ ） A．(–1, 2) B．(–∞, –1)与(1, +∞) C．(–∞, –2)与(0, +∞) D．(–2，0) 6．“函数在一点的导数值为0”是“函数在这点取极值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．使函数f(x)=x+2cosx在［0，］上取最大值的为 （ ） A.0 B. C. D. 8．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，阴影部分的面积为( ) A．2 B．2－ C. D. 10．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题４分，共20分） 11．?dx＝____________. 12．的展开式中的项的系数是
13. 定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间是 . 14．已知函数在区间上的极大值与极小值分别为，则 15．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有___________。 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分13分）已知的展开式的系数和大992。求在的展开式中： （1）常数项（用数字表示）；（2）二项式系数最大的项。； 17．(本题满分13分) 已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程； 18．（本题满分13分）4位男生和4位女生共8位同学站成一排，计算下列情况： （1）男生甲和女生乙相邻排队的概率； （2）男生甲和女生乙顺序固定的概率； （3）男生甲不站左端且女生乙不站右端队的排法有几种． 19．（本题满分13分）某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？ 20．（本题满分14分） 已知是正整数，的展开式中的系数为7， （1）试求中的的系数的最小值； （2）对于使的的系数为最小的，求出此时的系数； （3）利用上述结果，求的近似值（精确到0.01） 21．（本题满分14分） 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. 程溪中学2014-2015学年下学期中考 高二数学(理科)答案 选择题（更正：第6题补充函数可导前提） DCACD BBACC -120 R 32 17．[解析] ∵y＝，∴y′＝－. (1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数． 即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2. (2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上． 则可设过该点的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)． 解得a＝，代回方程①整理可得： 切线方程为y＝－4x＋4. 18. 解：（1）将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况， 将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，有A77=5040种情况， 共有2×5040=10080种情况； 所以概率为0.25.......................................4分 （2）先对8个人全排列，有A88=40320种情况， 其中甲乙的顺序有两种情况，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占一半， 则甲、乙顺序一定的情况有×40320=20160种情况， 所以概率为0.5...................................................8分 （3）①男生甲站右端则有A77=5040种站法 ②男生甲不站右端则有6种选择,而女生乙也有6种选择,剩下6人有A66 =720种排法,则有6×6×720=25920种 所以共有5040+25920=30960种........................13分 19．解 设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀 销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年 的保管费用为x·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为·1 600元，这样每 年的总费用为·1 600＋x·4 000·10%元． 令y＝·1 600＋x·4 000·10%， y′＝－·5 000·1 600＋·4 000·10%. 令y′＝0，解得x＝200(台)． 也就是当x＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值 为80 000元． 20． 解：根据题意得：，即 （1） 的系数为 将(1)变形为代入上式得：的系数为 故当的系数的最小值为9 当的系数为为 21． 、(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 2(1－ln 2＋a) 故f (x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取 得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． (2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0， 即ex－x2＋2ax－1>0， 故ex>x2－2ax＋1. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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