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简介:
高二暑假入学考试数学试卷 一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合A={0,1},B= {-1, a2},则“a=l”是“A∩B={1}”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知命题使得命题,下列命题为真的是 A.( B.p q C. D. 3.已知命题若 为假命题,则实数m的取值范围是 A. [0,2] B. C.R D. 4.双曲线的离心率为 A. B. C. D. 5.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为 A.4 B.8 C.12 D.16 6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若 △ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是 A. B. C.-1 D. 7.设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为 A. B. C. D. 8.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 A. B. C. D. 9. 双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(1,2)在“上”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是 A.(1,] B.(1,) C.(1,2] D.(1,2) 10. 设P是椭圆+=1上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 A.9, 12 B.8, 11 C.8, 12 D.10, 12 11.已知双曲线(a>0,b>0)的渐近线与圆相交,则双曲线的离心率的取值范围是 A.(1,3) B.(,+∞) C.(1,) D.(3,+∞) 12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为,且两条曲线在第一象限的交点为, 是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是 A.(1,) B.(,) C.(,) D.(,+) 二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分. 13.命题“?x>0,x2+x﹣2≥0”的否定是 _________ . 14. 已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为,焦距为8,则该椭圆的方程是________. 15.已知sinθ+cosθ=,双曲线x2sinθ+y2cosθ=1的焦点在y轴上,则双曲线C的离心率e=________. 16.下列若干命题中,正确命题的序号是______________. ①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a一l)y-a+7 =0平行的充分不必要条件; ②△ABC中,若acosA=bcos B,则该三角形形状为等腰三角形; ③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线; ④函数的最小正周期是 三、解答题:17题10分,18-22题每题12分,共70分,解答题要求写出必要的文字说明。 17.(本小题10分)设命题函数是上的减函数,命题函数,的值域为,若“且”为假命题,“或”为真命题,求实数的取值范围. 18. (本小题12分) (Ⅰ)求过点()且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程。 (Ⅱ) 如图所示,A、B是椭圆的两个顶点,C是AB的中点,F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M,且|OF|=,若MF⊥OA,求此椭圆的标准方程. 19. (本小题12分)已知F1,F2分别是椭圆 +=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,·=0,若椭圆的离心率等于. (1)求直线AO的方程(O为坐标原点); (2)直线AO交椭圆于点B,若△ABF2的面积等于4,求椭圆的方程. 20. (本小题12分)如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且 (Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度 21. (本小题12分)在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆 +=1(a>b>0) 的左右焦点.已知△为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程. 22. (本小题12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程. 数学参考答案 一.ABADB CADBC CB 二.13. 14. +=1. 15. 16. ①③ 三. 18. 解:(Ⅰ)设 (过程略) 可以解得 ∴ …………………………….6分 (Ⅱ)设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则A(a,0),B(0,b),C(,),F(c,0) 依题意得c==,即a2-b2=2.又MF⊥OA,则FM所在的直线方程是x=,代入椭圆方程得y=±结合图象可知M点的坐标为(,). 由于O、C、M三点共线,所以=,即,所以a2=4,b2=2. 所以所求椭圆的标准方程为+=1. …崩离析 ………………………….12分 19.解 (1)由·=0,知AF2⊥F1F2, ∵椭圆的离心率等于,∴c=a,可得b2=a2. 设椭圆方程为x2+2y2=a2. 设A(x0,y0),由·=0,知x0=c, ∴A(c,y0),代入椭圆方程可得y0=a, ∴A,故直线AO的斜率k=,直线AO的方程为y=x. ………….6分 (2)连接AF1,BF1,AF2,BF2, 由椭圆的对称性可知,S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2,∴·2c·a=4. 又由c=a,解得a2=16,b2=16-8=8. 故椭圆方程为+=1. ……….12分 20.解:(Ⅰ)设M的坐标为(x,y)P的坐标为(xp,yp)来源学高考 由已知得 ∵P在圆上,?∴???, 即C的方程为 ………….4分 (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为的直线方程为, 设直线与C的交点为 将直线方程代入C的方程,得 即 …….8分 ∴?…….12分 21. (I)解:设 由题意,可得 即整理得(舍),或 所以 ………….4分 (II)解:由(I)知 可得椭圆方程为 直线PF2方程为 A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得 解得得方程组的解 不妨设 …….8分 设点M的坐标为, 由于是 由即, 化简得 …….11分 将所以 因此,点M的轨迹方程是 …….12分 22.解:(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=. 又=,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为+y2=1. ………….4分 (2)当l⊥x轴时不合题意, 故可设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0, ………….6分 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=, 从而|PQ|=|x1-x2|=. 又点O到直线l的距离d=. 所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=. 设=t,则t>0,S△OPQ==. ………….10分 因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,满足Δ>0, 所以,当△OPQ的面积最大时,k=±,l的方程为y=x-2或y=-x-2. …………12分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org | ||||||||||||||||||||||||||||||
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