成都市“六校联考”高2014级第三学期期中试题

数 学（文）

（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积

A．
B．

C．
D．

2．已知点A
和B
在直线
的两侧，则直线
倾斜角的取值范围是

A．
B．
C．
D．

3．若
、
、
是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是

A．


B．

C．


D．

4． 对任意的实数
，直线y=kx+1与圆
的位置关系一定是

A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心

5．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为

A．
B．
C．
D．

6．已知圆
，从点
发出的光线，经
轴反射后恰好经过圆心
，则入射光线的斜率为

A.
B.
C.
D.

7．设变量x，y满足约束条件
则z＝3x－2y的最大值为

A．4 B． 2 C．0 D．6

8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为

A．
B．
C．
D．

9．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为

A．4 B．3 C．2 D．

10．如图所示，在棱长为2的正四面体
中，
是棱
的中点，若
是棱
上一动点，则
的最小值为

A．
B．

C．
D．

11．若直线
与曲线
有公共点,则b的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=
．则下列结论中正确的个数为

①AC⊥BE； ②EF∥平面ABCD； ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值； ④
的面积与
的面积相等，

A．4 B．3 C．2 D．1

（10题图） （12题图）

第II卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。

13．已知三条直线
和
交于一点，

则实数
的值为 ▲▲▲ ．

14．如右图，在棱长为1的正方体
中，M、N分别是
的中点，则图中阴影部分在平面
上的投影的面积为 ▲▲▲ ．

15．圆心在直线
上的圆C与
轴交于两点
，
，圆C的方程为 ▲▲▲ ．

16．如图正方形
的边长为
，已知
，将
沿
边折起，折起后
点在平面
上的射影为
点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①
与
所成角的正切值是
；②
∥
；③
的体积是
；④平面
⊥平面
；⑤直线
与平面
所成角为
．其中正确的有 ▲▲▲ ．（填写你认为正确的序号）

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

17．（本小题满分12分）已知直线
，

（1）若直线
过点（3，2）且
，求直线
的方程；

（2）若直线
过
与直线
的交点，且
，求直线
的方程．

18．（本小题满分12分）如图所示，正方形
和矩形
所在平面相互垂直，
是
的中点．

（1）求证：
；

（2）若直线
与平面
成45o角，求异面直线
与
所成角的余弦值．

19．（本小题满分12分）已知关于x，y的方程C:
．

（1）当m为何值时，方程C表示圆．

（2）若圆C与直线
: x+2y-4=0相交于M，N两点，且MN=
，求m的值．

20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
底面
，

．

（1）求证：
面
；

（2）设
为等边三角形，求直线
与平面
所成角的大小．

21．（本小题满分12分）已知以点C
（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A两点，与y轴交于点O，B，其中O为原点．

（1）求证：△AOB的面积为定值；

（2）设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若
，求圆C的方程；

（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求
的最小值及此时点P的坐标．

22．（本小题满分10分）如图甲，⊙
的直径
，圆上两点
在直径
的两侧，使
，
．沿直径
折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），
为
的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求点
到平面
的距离；

（2）如图:若
的平分线交弧
于一点
,试判断
是否与平面
平行？并说明理由．

六校联考数学(文)

参考答案

选择题：

1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. C 9. C 10. B 11. C 12. A

填空题

13.
14.
15.
16. ①④⑤

17. 解析：（1）设直线
的方程为
，
过点（3，2）

∴
∴直线的方程为
6分

（2）
交点为

∵
∴斜率K=1，则直线方程为
12分

18. 解析：（1）证明：在矩形
中，

∵平面

平面
，且平面

平面

∴
且
平面

∴
5分

（2）由（1）知：

∴
是直线
与平面
所成的角，即

设
取
，连接

∵
是
的中点 ∴

∴
是异面直线
与
所成角或其补角

∵
，
，

在
中，由余弦定理有：

∴ 异面直线
与
所成角的余弦值为
． （用向量法也可）12分

19. 解析：（1）方程C可化为

显然
时方程C表示圆．即
4分

（2）圆的方程化为

圆心C（1，2），半径

则圆心C（1，2）到直线l: x+2y-4=0的距离为

，有

得
12分

20. 解析：（1）∵底面
为矩形 ∴
.

∵侧面
底面
，且交线为
,

平面

∴
面
. 5分

备注：也可以取
的中点去证明。

（2）解：由（1）可知
面
。

∵
平面

∴平面
底面
,且交线为
。

取
的中
,连接
. ∵
为等边三角形

∴
平面
.

∴
是直线
与平面
所成角. 9分

在矩形
中，
. 在正
中，

∴
∴

∴求直线
与平面
所成角的大小为
． 12分

21.解析：（1）证明 由题设知，圆C的方程为（x－t）2＋
＝t2＋
，化简得x2－2tx＋y2－
y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t,0）；当x＝0时，y＝0或
，则B
，∴S△AOB＝
|OA|·|OB|＝
|2t|·
＝4 为定值． 4分

（2）解：∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝
＝
＝
，∴t＝2或t＝－2．

∴圆心为C（2,1）或（－2，－1），∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x＋2）2＋（y＋1）2＝5，由于当圆方程为（x＋2）2＋（y＋1）2＝5时，

直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，

∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5． 8分

（3）解：点B（0,2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′（－4，－2），则|PB|＋|PQ|＝|PB′|

＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为

|B′C|－r＝
．

所以|PB|＋|PQ|的最小值为
，直线B′C的方程为y＝
x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为
． 12分

22.解析：（1）
中，
，且
，∴
．

又
是
的中点，∴
．又∵
，且

，

∴
．∴
即为