武汉二中2015-2016学年度上学期期中考试

高二理科数学试卷

命题教师: 陈莉 审题教师: 左建华

考试时间: 2015年11月13日上午8: 00——10: 00 试卷满分: 150分

一、选择题: (本大题共12小题; 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在答题卡上. )

1. 已知命题
, 则命题
的否定是（　　）

A.
B.

C.
D.

2. 下列命题中真命题是（　　）

A.若
, 则
;

B.若
, 则
;

C.若
是异面直线, 那么
与
相交;

D.若
, 则
且

3. 已知双曲线
的渐近线方程为y＝±x, 若顶点到渐近线的距离为1, 则双曲线的方程为（　　）

A.
B.
C.
D.

4. 若不等式
成立的充分不必要条件为
, 则实数
的取值范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

5. 椭圆
的左、右焦点分别为
、
, 则椭圆上满足
的点
（　　）

A.有2个 B.有4个 C.不一定存在 D.一定不存在

6. 三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和

侧视图如图所示, 则棱S B的长为（　　）

A.
B.

C.
D.

7. 方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A, 左、右焦点分别为F1、F2, D是它短轴上的一个端点, 若
, 则该椭圆的离心率为（　　）

A. B.  C. D.

网Z*X*X*

8. 已知P为抛物线y2＝4x上一个动点, Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点, 那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是（　　）

A. 5 B. 8 C.－1 D.＋2

9. 若直线mx＋ny＝4和圆O: x2＋y2＝4没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆
的交点个数为 (　 　)

A. 至多一个 B. 2个 C. 1个 D. 0个

如图, 在棱长为1的正方体
中, 点
分别

是棱
的中点,
是侧面
内一点, 若
平

面
, 则线段
长度的取值范围是（　　）

A.
B.
　

C.
　 D.

11. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
,
为双曲线的中心,
是双曲线右支上的一点,
的内切圆的圆心为
, 且
与
轴相切于点
, 过
作直线
的垂线, 垂足为
, 若
为双曲线的离心率, 则（　　）

A.
B.

C.
D.
与
关系不确定

12. 已知
, 则
的最小值为（　　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题: (本大题共有4个小题, 每小题5分, 共20分. 把正确答案填在答题卡的相应位置. )

13. 已知三棱锥
的体积为1,
是
的中点,
是
的中点, 则三棱锥
的体积是__________.

14. 已知双曲线
的左焦点为F, 若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此双曲线的离心率的取值范围是________.

15. 已知点
是抛物线
上任意一点, 且点
在直线
的上方, 则实数
的取值范围为

16. 已知圆
, 圆
, 直线
分别过圆心
,且
与圆
相交于
,
与圆
相交于
,
是椭圆
上的任意一动点, 则
的最小值为______________.

三、解答题: (本大题共6个小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. )

17. (本小题满分10分) 设命题p: 函数
的定义域为R,

命题q: 双曲线
的离心率
,

(1) 如果p是真命题, 求实数
的取值范围;

(2) 如果命题“p或q”为真命题, 且命题“p且q”为假命题, 求实数
的取值范围.

18. (本小题满分12分) 如图, 已知长方形
中,
,
为
的中点.

将
沿
折起, 使得平面
平面
为
的中点.

(1) 求证:
;

(2) 求直线
与平面ADM所成角的正弦值.

19. (本小题满分12分) 已知圆
, 过圆
上一点A(3,2) 的动直线
与圆
相交于另一个不同的点B.

(1) 求线段AB的中点P的轨迹M的方程;

若直线
与曲线M只有一个交点, 求
的值.

20. (本小题满分12分) 如图, 在三棱柱
中, 点
在侧面
的射影为正方形
的中心M, 且
,
,E为
的中点.

(1) 求证:
║平面
;

(2) 求二面角
的正弦值;

(3) 在正方形
(包括边界) 内是否存在

点
, 使得
平面
？若存在,

求出线段
的长; 若不存在, 说明理由.

21. (本小题满分12分) 已知动圆
过定点
(0,1) , 且与
轴相切, 点
关于圆心
的对称点为
,动点
的轨迹为
.

(1) 求曲线
的方程;

设
是曲线
上的一个定点, 过点
作两条倾斜角互补的直线, 分别与曲线
相交于另外两点
、
.证明直线
的斜率为定值,并求出这个定值.

22. (本小题满分12分) 已知椭圆C的方程为
, 定点N(0, 1) , 过圆

：
上任意一点作圆M的一条切线交椭圆
于
、
两点.

(1) 求证:
;

(2) 求
的取值范围;

(3) 若点P、Q在椭圆C上, 直线PQ与x轴平行, 直线PN交椭圆于另一个不同的点S, 问: 直线QS是否经过一个定点？若是, 求出这个定点的坐标; 若不是, 说明理由.

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高二理科数学参考答案

选择题：

BAABD ADCBC CD

填空题

13、
14、
15、
16、6

解答题：

17、（1）若命题p为真命题，则
恒成立

（2）若命题q为真命题,则
，

p真q假时，
；p假q真时，
，

综上，

（1）
中，
，

又
平面
平面
，

平面
平面

且
平面

平面

又

平面

(2)如图，以
点为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系。则
，

为
中点，

由（1）知，
为平面
的一个法向量，

直线
与平面ADM所成角的正弦值为