珠海市第二中学2015－2016学年度第一学期期中考试

高二年级数学（理科）试题

考试时间120分钟，总分150分， 命题人：高贵彩 审题人：廖以翔

注意事项：

1．本试卷共4页,22小题,答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．

　　2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题 ，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．数列
，的一个通项公式是

A．
B．

C．
D．

2.下列命题中成立的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则
[来

3．设
的内角
所对边的长分别为
，若
，

则
的形状为

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

4.数列
，则它的前130项的和等于

A .
B.
C.
D.

5.已知点
和
在直线
的两侧，则实数
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

6.若正实数
满足
，则
+
的最小值是

A．4 B．6 C．8 D．9

7．在
中，
，
，
，则
解的情况为

A．有两解 B．有一解 C．无解 D．不能确定

8.已知数列
满足
，则

A．
B．
C．
D．

9.设常数
，集合
，若
，

则
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

10.已知数列
的其前
项和
，则数列
前
项和为

A．
B．
C．
D．

11.已知
，
，当
时，代数式
的值是

A．正数 B．负数 C．
　　 D．介于
与
之间

12.关于
的方程
有两个不同的实根 ,且一个大于4,另一个小于4 ,则
的取值范围为A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分,满分20分．

13.已知
的内角
的对边分别为
，且满足
，
．

则
的面积_________.

14. 已知
为均实数，且满足
，则
的最大值
与最小值
的乘积
.

15．数列

为单调递减数列，则
的取值范围是__________．

16. 不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

如图，在△
中，
是边
的中点，且
，
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)求
的值.

18.(本小题满分12分)

已知数列
是递增数列，且满足

(Ⅰ)若
是等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
;

(Ⅱ)若
是等比数列，若
，求数列
的前7项的积
.

19.(本小题满分12分)

某家具厂有方木料 90米，五合板 600米，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1米，五合板 2米，生产一个书橱需要方木料 0.2米，五合板 1米，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元．如何安排生产可使所得利润最大？

20．（本小题满分12分）

已知△
中，
、
、
分别为角
、
、
的对边，
，

且
．

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)求
的取值范围．

21.(本小题满分12分)

已知
，

(Ⅰ)当
时，恒有
，求
的取值范围；

(Ⅱ)当
时，恒有
，求
的取值范围；

(Ⅲ)当
时，恒有
，求
的取值范围．

22.(本小题满分12分)

已知数列
满足：
,
.

(Ⅰ) 求数列
的通项；

(Ⅱ) 若
，求数列
的前
项和
；

(Ⅲ)设
,
,求证:
(
).

珠海市第二中学2015－2016学年度第一学期期中考试

高二年级数学数学试题（理科）参考答案和评分标准

说明：解答题仅给出一种解法过程，其他正确解法过程请参照给分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

C

B

C

D

C

A

B

A

B

D



二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．

13．
14．
15．
16．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

如图，在△
中，
是边
的中点，且
，
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)求
的值.

【解】(Ⅰ)在△
中，
，
，

∴

. ……………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，且

，

∴
. ……………6分

∵
是边
的中点，

∴
.………………………7分

由
，解得
. ……………8分

由正弦定理得：
. ……………10分

18.(本小题满分12分)

已知数列
是递增数列，且满足

(Ⅰ)若
是等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
;

(Ⅱ)若
是等比数列，若
，求数列
的前7项的积
.

【解】(Ⅰ) 由题设知：
…………………1分

∴
是方程
的两根，且
，解得
，…………3分

∴公差为
，
；…………5分

…………7分

(Ⅱ) 由题设知：
，
………………9分

∴
，………………10分

∴
…………………12分

19.(本小题满分12分)

某家具厂有方木料 90米，五合板 600米，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1米，五合板 2米，生产一个书橱需要方木料 0.2米，五合板 1米，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元．如何安排生产可使所得利润最大？

【解】设生产书桌
张，生产书橱
个，可获总利润
元，则
.…………2分

由题设知：

…………6分

在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，

即可行域，如右图示. …………7分

作直线
，即直线
. 把直线
向右上方平移

到
的位置，直线
经过可行域上的点
，此时
取得最大值．…………9分

由
解得点
的坐标为(100,400)．…………10分

∴当
时，
(元)．…………11分

因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为56 000 元．…………12分

20．（本小题满分12分）

已知△
中，
、
、
分别为角
、
、
的对边，
，

且
． (Ⅰ)求角
的大小； (Ⅱ)求
的取值范围．

【解】(Ⅰ)由题设及余弦定理知：
，即
为钝角，………………2分

得
，又
，………………4分

所以
，
．………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)及余弦定理知：
………………7分

即
．………………9分

所以，
，
． ……………………………………10分

又
，
．……………………………………11分

所以
的取值范围为
． ……………………………………………………12分

21.(本小题满分12分)

已知
，

(Ⅰ)当
时，恒有
，求
的取值范围；

(Ⅱ)当
时，恒有
，求
的取值范围；

(Ⅲ)当
时，恒有
，求
的取值范围．

【解】(Ⅰ)
………1分 或
，…………3分

∴
…………………4分

(Ⅱ) 由题设知：当
时，恒有
成立 , …………………5分

当
时，
在区间
为增函数，由题设得

………………7分

…………………8分

(Ⅲ)设
，

由题设知：当
时，恒有
…………………9分

又
…………………10分

∴
…………………11分

∴
…………………12分

22.(本小题满分12分)

已知数列
满足：
,
.

(Ⅰ) 求数列
的通项；

(Ⅱ) 若
，求数列